ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 206 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На сторонах \(AB\) и \(BC\) треугольника отметили соответственно точки \(M\) и \(K\) так, что \(AM = 3BM\), \(CK = 3BK\). Докажите, что \(MK \perp AC\), и найдите отрезок \(MK\), если \(AC = 16\) см.

Решение:
1) Отметим точки E и F: AE = BE, CF = BF;
2) В треугольнике АВС: EF — средняя линия; EF || AC, EF = \(\frac{1}{2}\)AC = 8;
3) В треугольнике EBF: AB = AM + BM = 4BM; BM = \(\frac{1}{4}\)AB, EB = \(\frac{1}{2}\)AB; BC = BK + CK = 4BK; BK = \(\frac{1}{4}\)BC, BF = \(\frac{1}{2}\)BC; BM = \(\frac{1}{2}\)EB, BK = \(\frac{1}{2}\)BF; MK — средняя линия; MK = \(\frac{1}{2}\)EF = 4.

Ответ: 4 см.

Дано:
— AM = 3BM
— CK = 3BK
— AC = 16 см

Решение:
1) Найдем длину отрезка EF, который является средней линией в треугольнике ABC.
Средняя линия треугольника равна половине длины основания треугольника, поэтому:
EF = \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{1}{2}\)16 = 8 см

2) Найдем длину отрезка MK, который является средней линией в треугольнике EBF.
Средняя линия треугольника равна половине длины основания треугольника, поэтому:
MK = \(\frac{1}{2}\)EF = \(\frac{1}{2}\)8 = 4 см

3) Найдем длину отрезка BM.
Так как AM = 3BM, то BM = \(\frac{1}{3}\)AM = \(\frac{1}{3}\)3BM = BM

4) Найдем длину отрезка EB.
Так как AB = AM + BM = 4BM, то EB = \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)4BM = 2BM

5) Найдем длину отрезка BK.
Так как BC = BK + CK = 4BK, то BK = \(\frac{1}{4}\)BC

6) Найдем длину отрезка BF.
Так как BF = \(\frac{1}{2}\)BC, то BF = \(\frac{1}{2}\)\(\frac{1}{4}\)BC = \(\frac{1}{8}\)BC

Ответ: 4 см