ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 207 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Углы \(BAD\) и \(BCE\) — внешние углы треугольника \(ABC\). Из вершины \(B\) проведены перпендикуляры \(BM\) и \(BK\) к биссектри- сам углов \(BAD\) и \(BCE\) соответственно. Найдите отрезок \(MK\), если периметр треугольника \(ABC\) равен 18 см.

Решение:

1) Отметим точки P и N: BM ∩ AC = P, BK ∩ AC = N.
2) В треугольнике BAP: AM — биссектриса и высота, ΔBAP — равнобедренный, PA = AB, AM — медиана, BM = PM.
3) В треугольнике BCN: CK — биссектриса и высота, ΔBCN — равнобедренный, CN = BC, CK — медиана, BK = NK.
4) В треугольнике PBN: BM = PM, BK = NK, MK — средняя линия, \(MK = \frac{1}{2}(PA + AC + CN) = \frac{1}{2}(AB + AC + BC) = \frac{1}{2}P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9\).
Ответ: 9 см.

Решение:
Дано:
— AM — биссектриса ∠BAD;
— CK — биссектриса ∠BCE;
— BM ⊥ AM;
— BK ⊥ CK;
— PАБС = 18 см.

Найти: MK.

Рассуждения:
1) Проведем прямые, проходящие через точки пересечения биссектрис с противоположными сторонами треугольника. Эти прямые пересекутся в точках P и N, так как AM — биссектриса ∠BAD, а CK — биссектриса ∠BCE.
2) В треугольнике BAP:
— AM — биссектриса и высота;
— ΔBAP — равнобедренный, так как PA = AB;
— AM — медиана, поэтому BM = PM.

3) В треугольнике BCN:
— CK — биссектриса и высота;
— ΔBCN — равнобедренный, так как CN = BC;
— CK — медиана, поэтому BK = NK.

4) В треугольнике PBN:
— BM = PM, BK = NK;
— MK — средняя линия.

Вычисления:
\(MK = \frac{1}{2}(PA + AC + CN) = \frac{1}{2}(AB + AC + BC) = \frac{1}{2}P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9\)

Ответ: 9 см.