ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 210 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диагонали выпуклого четырехугольника \(ABCD\) перпендикулярны. Через середины сторон \(AB\) и \(AD\) проведены прямые, перпендикулярные соответственно сторонам \(DC\) и \(BC\). Докажи211. Стороны \(AB\) и \(CD\) выпуклого четырехугольника \(ABCD\) равны. Через середины диагоналей \(AC\) и \(BD\) проведена прямая, которая пересекает стороны \(AB\) и \(CD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Докажите, что \(\angle BMN = \angle CNM\).
Решение:
1) Отметим точку F: \(AF = CF\);
2) В треугольнике ABD: \(AM = BM\), \(AK = DK\);
3) В треугольнике DAC: \(AK = DK\), \(AF = CF\); \(KF\) — средняя линия; \(KF \parallel CD\);
4) В треугольнике BAC: \(AM = BM\), \(AF = CF\); \(MF\) — средняя линия; \(MF \perp BC\);
5) В треугольнике MKF: \(AC \perp BD\), \(MK \parallel BD\), \(AC \perp MK\); \(KH \perp BC\), \(MF \parallel BC\), \(KH \perp MF\); \(MT \perp CD\), \(KF \parallel CD\), \(MT \perp KF\); \(AC\), \(KH\), \(MT\) — высоты; \(KH \cap MT \cap AC = E\);
Что и требовалось доказать.
Решение:
Дано:
— Отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\);
— \(AM = BM\);
— \(AK = DK\);
— Прямая \(MT\) перпендикулярна отрезку \(CD\);
— Прямая \(KH\) параллельна отрезку \(BC\).
Требуется доказать, что точка \(E\) лежит на отрезке \(AC\).
Доказательство:
1) Проведем через точку \(M\) прямую \(MF\), параллельную отрезку \(CD\). Тогда \(AF = CF\), так как \(AM = BM\) и \(AK = DK\), следовательно, треугольники \(AMF\) и \(CMF\) равны.
2) Рассмотрим треугольник \(DAC\). Так как \(AK = DK\) и \(AF = CF\), то \(KF\) является средней линией этого треугольника и, следовательно, \(KF \parallel CD\).
3) Рассмотрим треугольник \(BAC\). Так как \(AM = BM\) и \(AF = CF\), то \(MF\) является средней линией этого треугольника и, следовательно, \(MF \perp BC\).
4) Рассмотрим треугольник \(MKF\). Так как \(AC \perp BD\), \(MK \parallel BD\) и \(AC \perp MK\), то \(KH \perp BC\) и \(MF \parallel BC\), а также \(KH \perp MF\). Кроме того, \(MT \perp CD\), \(KF \parallel CD\) и \(MT \perp KF\), а также \(AC\), \(KH\) и \(MT\) являются высотами треугольника \(MKF\).
5) Точка \(E\) является точкой пересечения высот треугольника \(MKF\), следовательно, \(E\) лежит на отрезке \(AC\).
Таким образом, доказано, что точка \(E\) лежит на отрезке \(AC\).
