ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 212 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

К окружности с центром \(O\) через точку \(C\) проведены касательные \(CA\) и \(CB\) (\(A\) и \(B\) — точки касания). Отрезок \(AD\) — диаметр окружности. Докажите, что \(BD \perp CO\).

Краткий ответ:

Решение:

1) В данной окружности: \(OA = OB = OD = R\); \(AC, BC\) — касательные; \(OA \perp AC, AC = BC\);
2) Рассмотрим \(\Delta OAC\) и \(\Delta OBC\): \(\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ\); \(OC\) — общая сторона, \(OA = OB\); \(\Delta OAC = \Delta OBC\) — гипотенуза и катет; \(\angle AOC = \angle BOC = x\);
3) \(\Delta AOB\) равнобедренный: \(\angle BOD = \angle OBD\); \(\angle BOD = 180^\circ — \angle AOC — \angle BOC\); \(\angle BOD = 180^\circ — x — x = 180^\circ — 2x\); \(\angle BOD + \angle OBD + \angle BOD = 180^\circ\); \(\angle BOD + 2\angle BOD + 180^\circ — 2x = 180^\circ\); \(2\angle BOD = 2x, \angle BOD = x\);
4) Для прямых \(OC\) и \(BD\) и секущей \(AD\): \(\angle BDA = \angle COA = x\), \(OC \perp BD\).

Подробный ответ:

Решение:

Дано:
— Касательные отрезки CA и CB
— Диаметр AD

Доказать: BD ⊥ CO

1) Рассмотрим окружность с центром в точке O. Согласно условию, радиус окружности равен \(OA = OB = OD = R\).

2) Касательные AC и BC к окружности образуют прямые углы с радиусом окружности, то есть \(\angle AOC = \angle BOC = 90^\circ\).

3) Так как \(OA = OB\), то \(\Delta AOC\) и \(\Delta BOC\) равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \(AC = BC\) и \(\angle AOC = \angle BOC = x\).

4) Рассмотрим \(\Delta AOB\). Так как \(\angle AOB = 180^\circ — \angle AOC — \angle BOC = 180^\circ — x — x = 180^\circ — 2x\), а \(\angle AOB = \angle BOD\) (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), то \(\angle BOD = 180^\circ — 2x\).

5) Сумма углов в \(\Delta AOB\) равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle AOB + \angle ABO + \angle BOD = 180^\circ\). Подставляя известные значения, получаем:
\(\angle AOB + \angle ABO + 180^\circ — 2x = 180^\circ\)
\(2\angle AOB + 180^\circ — 2x = 180^\circ\)
\(2\angle AOB = 2x\)
\(\angle AOB = x\)

6) Так как \(\angle AOB = x\) и \(\angle BOD = 180^\circ — 2x\), то \(\angle BOD = 180^\circ — x\).

7) Так как \(\angle AOC = \angle BOC = x\) и \(\angle BOD = 180^\circ — x\), то \(\angle COD = x\).

8) Таким образом, \(\angle COD = \angle BOD\), то есть прямые OC и BD параллельны.

9) Так как прямые OC и BD параллельны, а AD является секущей, то \(\angle BAD = \angle CAD\) (накрест лежащие углы).

10) Следовательно, BD ⊥ CO, что и требовалось доказать.

Оцени решение