ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 214 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ \(BD\) параллелограмма \(ABCD\) является его высотой и равна стороне \(BC\). Найдите сторону \(CD\) параллелограмма, если точка \(B\) удалена от прямой \(CD\) на 4 см.

Решение:
1) В прямоугольном ΔDBC: \(\angle DBC = \angle BDA = 90°\); BD = BC; ΔDBC — равнобедренный; \(\angle BCD = 2 \angle BDC\);
\(\angle BCD + 2 \angle BDC = 90°\); \(2 \angle BCD = 90°\), \(\angle C = 45°\);
2) В прямоугольном ΔCHB: \(\angle CBH + \angle BCH = 90°\); \(\angle CBH + 45° = 90°\); \(\angle CBH = 45°\); ΔCHB — равнобедренный; CH = BH = 4;
3) ΔDBC равнобедренный, BH — высота и медиана; CD = 2CH = 8.

Ответ: 8 см.

Дано: четырехугольник ABCD является параллелограммом, BD — высота, BD = BC, BH перпендикулярна CD, BH = 4 см.

Необходимо найти длину CD.

Решение:
1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔDBC. Так как ABCD — параллелограмм, то \(\angle DBC = \angle BAD = 90°\). Это значит, что ΔDBC — прямоугольный треугольник.

2) Так как BD = BC, то ΔDBC — равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, \(\angle BDC = \angle BCD = 45°\).

3) Поскольку ΔDBC — равнобедренный прямоугольный треугольник, то \(\angle BCD = 2 \angle BDC = 90°\).

4) Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник ΔCHB. Так как BH перпендикулярна CD, то \(\angle CBH + \angle BCH = 90°\). Кроме того, \(\angle CBH + 45° = 90°\), откуда \(\angle CBH = 45°\). Таким образом, ΔCHB также является равнобедренным прямоугольным треугольником.

5) Так как BH = 4 см и ΔCHB — равнобедренный прямоугольный треугольник, то CH = BH = 4 см.

6) Поскольку ΔDBC — равнобедренный прямоугольный треугольник, а BH является высотой, то BH также является медианой. Следовательно, CD = 2CH = 2 \cdot 4 = 8 см.

Ответ: CD = 8 см.