ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 228 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Могут ли у трапеции быть:
1) три прямых угла;
2) три острых угла;
3) два противолежащих угла тупыми;
4) два противолежащих угла прямыми;
5) два противолежащих угла равными?
Три прямых угла: если \( \angle A = \angle B = \angle C = 90^\circ \), то \( \angle D = 90^\circ \), получаем прямоугольник, а не трапецию. Ответ: нет.
Три острых угла: если \( \angle A < 90^\circ, \angle B < 90^\circ, \angle C < 90^\circ \), то сумма углов при основаниях меньше \( 180^\circ \) и ни одна пара сторон не параллельна. Ответ: нет. Два противолежащих угла тупыми: если \( \angle A > 90^\circ, \angle C > 90^\circ \), остальные два угла острые, одна пара сторон может быть параллельна. Ответ: да.
Два противолежащих угла прямыми: если \( \angle A = \angle C = 90^\circ \), то остальные углы тоже прямые, получается прямоугольник. Ответ: нет.
Два противолежащих угла равными: если \( \angle A = \angle C \), то \( \angle B = \angle D \), противоположные углы попарно равны, это не трапеция. Ответ: нет.
Три прямых угла: Пусть \( \angle A = \angle B = \angle C = 90^\circ \). По свойству суммы углов четырёхугольника: \( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \). Подставим значения: \( 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle D = 360^\circ \). Тогда \( \angle D = 360^\circ — 270^\circ = 90^\circ \). Получается, что все четыре угла прямые, то есть это прямоугольник, а не трапеция. В трапеции не может быть четырёх прямых углов. Ответ: нет.
Три острых угла: Пусть \( \angle A < 90^\circ, \angle B < 90^\circ, \angle C < 90^\circ \). Тогда \( \angle A + \angle B < 180^\circ \), а по свойству трапеции сумма углов при основаниях равна \( 180^\circ \) только если стороны параллельны, но если \( \angle A + \angle B < 180^\circ \), то стороны \( AD \) и \( BC \) не параллельны. Аналогично, \( \angle B + \angle C < 180^\circ \) означает, что стороны \( AB \) и \( CD \) не параллельны. То есть не выполняется условие параллельности хотя бы одной пары сторон, значит, это не трапеция. Ответ: нет. Два противолежащих угла тупыми: Пусть \( \angle A > 90^\circ, \angle C > 90^\circ \). Тогда \( \angle B < 90^\circ, \angle D < 90^\circ \), так как сумма всех углов \( 360^\circ \). В трапеции возможно, чтобы два противолежащих угла были тупыми, если другие два острые, и при этом одна пара сторон параллельна. Например, на рисунке видно, что \( AD \) параллельно \( BC \), а \( AB \) и \( CD \) не параллельны. Ответ: да. Два противолежащих угла прямыми: Пусть \( \angle A = \angle C = 90^\circ \). По свойству трапеции \( AD \) параллельно \( BC \). Сумма углов при основаниях: \( \angle A + \angle B = 180^\circ \), \( \angle C + \angle D = 180^\circ \). Подставим: \( 90^\circ + \angle B = 180^\circ \), значит \( \angle B = 90^\circ \). Аналогично, \( 90^\circ + \angle D = 180^\circ \), значит \( \angle D = 90^\circ \). Получается, что все углы прямые, то есть это прямоугольник, а не трапеция. Ответ: нет.
Два противолежащих угла равными: Пусть \( \angle A = \angle C \), при этом \( AD \) параллельно \( BC \). По свойству трапеции \( \angle A + \angle B = 180^\circ \), \( \angle C + \angle D = 180^\circ \), значит \( \angle B = 180^\circ — \angle A \), \( \angle D = 180^\circ — \angle C \). Так как \( \angle A = \angle C \), то \( \angle B = \angle D \). Получается, что противоположные углы попарно равны, а это возможно только в равнобедренной трапеции, но в равнобедренной трапеции равны только углы при основаниях, а не противоположные. Следовательно, такой случай невозможен. Ответ: нет.
