ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 230 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если углы при одном из оснований трапеции равны, то данная трапеция является равнобокой.

Построим высоты \( BH \) и \( CE \), \( BH \perp AD \), \( CE \perp AD \). В четырехугольнике \( BCEH \) все углы прямые, значит, \( BCEH \) — прямоугольник, \( BH = CE \). Рассмотрим треугольники \( ABH \) и \( DCE \): \( \angle BAH = \angle CDE \), \( \angle AHB = \angle DEC = 90^\circ \), \( ABH = DCE \) по катету и углу, значит, \( AB = CD \). Что и требовалось доказать.

Пусть \(ABCD\) — трапеция, \( \angle A = \angle D \). Требуется доказать, что \( AB = CD \).

Проведём высоты \( BH \) и \( CE \) из точек \( B \) и \( C \) соответственно к основанию \( AD \), так что \( BH \perp AD \) и \( CE \perp AD \). Точки \( H \) и \( E \) — основания высот.

Рассмотрим четырёхугольник \( BCEH \). В нём \( \angle B = \angle C = \angle E = \angle H = 90^\circ \), так как по построению \( BH \) и \( CE \) перпендикулярны \( AD \), а \( BC \) параллельно \( AD \) по определению трапеции. Следовательно, \( BCEH \) — прямоугольник, у которого противоположные стороны равны, значит, \( BH = CE \).

Рассмотрим треугольники \( ABH \) и \( DCE \). В этих треугольниках:
— \( \angle BAH = \angle CDE \), так как по условию \( \angle A = \angle D \);
— \( \angle AHB = \angle DEC = 90^\circ \) по построению;
— \( BH = CE \), как доказано выше.

Значит, треугольники \( ABH \) и \( DCE \) равны по катету и прилежащему острому углу (\( BH = CE \), \( \angle AHB = \angle DEC \), \( \angle BAH = \angle CDE \)).

Из равенства треугольников \( ABH = DCE \) следует, что \( AB = CD \).

Что и требовалось доказать.