ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 231 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна \(180^\circ\). Верно ли обратное утверждение: если сумма противолежащих углов трапеции равна \(180^\circ\), то данная трапеция является равнобокой?
В трапеции \(ABCD\): \(AB = CD\), \(AD \parallel BC\); \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle C\). Для \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\): \(\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ\); \(\angle DAB + \angle DCB = 180^\circ\). Для \(AD\) и \(BC\) и секущей \(CD\): \(\angle ADC + \angle DCB = 180^\circ\); \(\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ\). В трапеции \(ABCD\): \(AD \parallel BC\); \(\angle DAB + \angle DCB = 180^\circ\); \(\angle DCB = 180^\circ — \angle DAB\). Для \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\): \(\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ\); значит, \(\angle ABC = 180^\circ — \angle DAB\); \(\angle ABC = \angle DCB\), \(AB = CD\). Что и требовалось доказать.
Ответ: да.
В трапеции \(ABCD\) даны условия: \(AB = CD\), \(AD \parallel BC\), \(\angle A + \angle C = 180^\circ\). Необходимо доказать: \(\angle A + \angle C = 180^\circ\), \(\angle B + \angle D = 180^\circ\), \(AB = CD\).
В трапеции \(ABCD\): \(AB = CD\), \(AD \parallel BC\), поэтому по свойствам равнобокой трапеции углы при основаниях равны: \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle C\).
Рассмотрим стороны \(AD\) и \(BC\) и секущую \(AB\): сумма односторонних углов равна \(180^\circ\), то есть \(\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ\). Аналогично, \(\angle DAB + \angle DCB = 180^\circ\).
Теперь рассмотрим стороны \(AD\) и \(BC\) и секущую \(CD\): \(\angle ADC + \angle DCB = 180^\circ\), а также \(\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ\).
В трапеции \(ABCD\) также выполняется, что \(AD \parallel BC\), поэтому \(\angle DAB + \angle DCB = 180^\circ\), значит \(\angle DCB = 180^\circ — \angle DAB\).
Рассмотрим снова стороны \(AD\) и \(BC\) и секущую \(AB\): \(\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ\), откуда \(\angle ABC = 180^\circ — \angle DAB\).
Поскольку \(\angle ABC = 180^\circ — \angle DAB\) и \(\angle DCB = 180^\circ — \angle DAB\), то \(\angle ABC = \angle DCB\).
Так как в равнобокой трапеции равны и основания, и углы при основаниях, то \(AB = CD\).
Что и требовалось доказать.
Ответ: да.
