ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 233 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота равнобокой трапеции, проведенная из конца меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите основания трапеции.

Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AB = CD\), \(BH\) — высота, \(AH = 6\) см, \(DH = 10\) см. Найти: \(BC\), \(AD\).

В трапеции: \(AH = \frac{1}{2}(AD — BC)\), \(DH = \frac{1}{2}(AD + BC)\).

\(2 \cdot AH = AD — BC\), то есть \(2 \cdot 6 = AD — BC\), значит \(AD = 12 + BC\).

\(2 \cdot DH = AD + BC\), то есть \(2 \cdot 10 = AD + BC\), значит \(20 = AD + BC\).

Подставляем \(AD = 12 + BC\): \(20 = 12 + BC + BC\), \(20 = 12 + 2BC\), \(2BC = 8\), \(BC = 4\).

\(AD = 12 + 4 = 16\).

Ответ: \(BC = 4\) см, \(AD = 16\) см.

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), в которой \(AB = CD\) — основания, \(BH\) — высота, \(AH = 6\) см, \(DH = 10\) см. Нужно найти \(BC\) и \(AD\).

Проведём высоту \(BH\) к основанию \(AD\). Пусть \(H\) — точка пересечения высоты с основанием \(AD\). Тогда \(AH\) и \(DH\) — отрезки на основании \(AD\).

Поскольку трапеция равнобокая (\(AB = CD\)), её боковые стороны равны, а основания параллельны. Высоты, опущенные из концов меньшего основания на большее, делят большее основание на три части: два отрезка (\(AH\) и \(DH\)) и средний отрезок, равный меньшему основанию (\(BC\)).

По свойствам трапеции:
\(AH = \frac{1}{2}(AD — BC)\) — это расстояние от одного основания до проекции другого основания на большее основание.
\(DH = \frac{1}{2}(AD + BC)\) — это расстояние от другого основания до проекции первого основания на большее основание.

Подставим значения:
\(AH = 6\), \(DH = 10\).

Получаем два уравнения:
\(AH = \frac{1}{2}(AD — BC)\), значит \(6 = \frac{1}{2}(AD — BC)\).
\(DH = \frac{1}{2}(AD + BC)\), значит \(10 = \frac{1}{2}(AD + BC)\).

Умножим оба уравнения на 2:
\(2 \cdot 6 = AD — BC\), то есть \(12 = AD — BC\).
\(2 \cdot 10 = AD + BC\), то есть \(20 = AD + BC\).

Теперь решим систему уравнений:
\(AD — BC = 12\)
\(AD + BC = 20\)

Сложим оба уравнения:
\((AD — BC) + (AD + BC) = 12 + 20\), получаем \(2AD = 32\), отсюда \(AD = 16\).

Теперь найдём \(BC\):
\(AD + BC = 20\), значит \(16 + BC = 20\), отсюда \(BC = 4\).

Ответ: \(BC = 4\) см, \(AD = 16\) см.