ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 234 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Один из углов равнобокой трапеции равен \(60^\circ\), боковая сто- рона — 18 см, а сумма оснований — 50 см. Найдите основания трапеции.

Пусть \(ABCD\) — равнобокая трапеция, \(AB = CD = 18\) см, \(AD + BC = 50\) см, \(\angle A = 60^\circ\). Проведём высоту \(BH \perp AD\). В треугольнике \(ABH\) угол \(ABH = 30^\circ\), тогда \(AH = \frac{1}{2} AB = 9\) см. Полусумма оснований: \(\frac{AD + BC}{2} = 25\) см. Тогда \(DH = 25\) см. \(AD = AH + DH = 9 + 25 = 34\) см, \(BC = 50 — AD = 16\) см.

Ответ: \(BC = 16\) см, \(AD = 34\) см.

Дано: \(ABCD\) — равнобокая трапеция, \(AB = CD = 18\) см, \(AD + BC = 50\) см, \(\angle A = 60^\circ\). Требуется найти длины \(BC\) и \(AD\).

Проведём из точки \(B\) высоту \(BH\) к основанию \(AD\), тогда \(BH \perp AD\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\): угол при вершине \(A\) равен \(60^\circ\), а сумма углов в треугольнике \(ABH\) равна \(180^\circ\). Так как угол \(HAB = 60^\circ\), а угол \(BHA = 90^\circ\), то угол \(ABH = 180^\circ — 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ\).

В этом треугольнике \(AB = 18\) см — гипотенуза, угол \(HAB = 60^\circ\), а \(AH\) — катет, прилежащий к этому углу. По определению косинуса: \(cos(60^\circ) = \frac{AH}{AB}\), значит \(AH = AB \cdot cos(60^\circ) = 18 \cdot 0.5 = 9\) см.

В трапеции \(ABCD\) основания \(AB\) и \(CD\) равны, значит трапеция равнобокая, и высоты, опущенные из \(B\) и \(C\) на основание \(AD\), делят \(AD\) на три части: \(AH\), \(DH\) и середину между ними. Полусумма оснований трапеции равна \(\frac{AD + BC}{2}\), а так как трапеция равнобокая, то отрезки \(AH\) и \(DH\) равны, и \(DH = \frac{AD + BC}{2} = 25\) см.

Теперь найдём \(AD\): \(AD = AH + DH = 9 + 25 = 34\) см.

Теперь найдём \(BC\): \(BC = 50 — AD = 50 — 34 = 16\) см.

Ответ: \(BC = 16\) см, \(AD = 34\) см.