ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 237 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В трапеции \(ABCD\) известно, что \(AB = CD\), \(\angle BAC = 20^\circ\), \(\angle CAD = 50^\circ\). Найдите углы \(ACB\) и \(ACD\)
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AB = CD\), \(\angle BAC = 20^\circ\), \(\angle CAD = 50^\circ\).
В трапеции \(ABCD\): \(AB = CD\), значит, \(AD \parallel BC\), \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\).
Для треугольника \(ACB\): \(\angle ACB = \angle CAD = 50^\circ\).
Для треугольника \(BAD\): \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 20^\circ + 50^\circ = 70^\circ\).
В треугольнике \(ABD\): \(\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ\), значит, \(70^\circ + \angle ABC = 180^\circ\), \(\angle ABC = 110^\circ\).
В трапеции \(\angle B = \angle C = 110^\circ\).
\(\angle DCB = \angle ACB + \angle ACD\), \(110^\circ = 50^\circ + \angle ACD\), \(\angle ACD = 60^\circ\).
Ответ: \(\angle ACB = 50^\circ\), \(\angle ACD = 60^\circ\).
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AB = CD\), \(AB \parallel CD\), \(\angle BAC = 20^\circ\), \(\angle CAD = 50^\circ\). Требуется найти \(\angle ACB\) и \(\angle ACD\).
В трапеции \(ABCD\) основания \(AD \parallel BC\), боковые стороны \(AB = CD\), значит трапеция равнобокая. В равнобокой трапеции углы при основаниях равны: \(\angle BAD = \angle CDA\), \(\angle ABC = \angle BCD\).
Рассмотрим треугольник \(BAC\). По условию \(\angle BAC = 20^\circ\), \(\angle CAD = 50^\circ\). Тогда \(\angle BAC\) и \(\angle CAD\) — это углы при вершине \(A\) между сторонами \(AB\), \(AC\), \(AD\). Значит, угол \(BAC\) — между \(AB\) и \(AC\), а угол \(CAD\) — между \(AC\) и \(AD\). Следовательно, угол \(BAD = \angle BAC + \angle CAD = 20^\circ + 50^\circ = 70^\circ\).
Так как \(AD \parallel BC\), сумма внутренних односторонних углов при секущей \(AB\) равна \(180^\circ\): \(\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ\), значит \(\angle ABC = 180^\circ — 70^\circ = 110^\circ\).
В равнобокой трапеции углы при основаниях равны, значит \(\angle ABC = \angle BCD = 110^\circ\).
Теперь рассмотрим треугольник \(ACB\). По условию \(\angle BAC = 20^\circ\), а угол \(CAB\) — это угол между \(AC\) и \(AB\), а угол \(ACB\) — это угол, который нужно найти. По свойству равнобокой трапеции диагональ делит ее на два равных треугольника, поэтому \(\angle ACB = \angle CAD = 50^\circ\).
Теперь найдём угол \(\angle ACD\). В треугольнике \(BCD\) известно, что \(\angle BCD = 110^\circ\), а \(\angle DCB = \angle ACB + \angle ACD\). По построению \(\angle ACB = 50^\circ\), тогда \(110^\circ = 50^\circ + \angle ACD\), откуда \(\angle ACD = 60^\circ\).
Ответ: \(\angle ACB = 50^\circ\), \(\angle ACD = 60^\circ\).
