ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 239 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В трапеции \(ABCD\) меньшее основание \(BC\) равно 6 см. Через вершину \(B\) проведена прямая, которая параллельна стороне \(CD\) и пересекает сторону \(AD\) в точке \(M\). Найдите периметр трапеции, если периметр треугольника \(ABM\) равен 16 см.

Краткий ответ:

В трапеции \(ABCD\): \(BC \parallel AD\), \(AB \not\parallel CD\). В четырёхугольнике \(BCDM\): \(BC \parallel MD\), \(BM \parallel CD\), значит, \(BCDM\) — параллелограмм, \(MD = BC = 6\), \(BM = CD\). В треугольнике \(ABM\): \(AM = AD — MD\). Периметр \(ABM\): \(P_{ABM} = AB + BM + AM\). По условию: \(AB + CD + AD — MD = 16\), значит, \(AB + CD + AD — 6 = 16\), тогда \(AB + CD + AD = 22\). Периметр трапеции: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 22 + 6 = 28\) см.

Ответ: 28 см.

Подробный ответ:

Дано: трапеция \(ABCD\), \(BC = 6\) см, \(BM \parallel CD\), \(P_{ABM} = 16\) см. Нужно найти \(P_{ABCD}\).

В трапеции \(ABCD\) известно, что \(BC \parallel AD\), а \(AB \not\parallel CD\). Пусть \(BM \parallel CD\) и \(BM\) пересекает \(AD\) в точке \(M\). Тогда четырехугольник \(BCDM\) — параллелограмм, потому что у него противоположные стороны попарно параллельны (\(BC \parallel MD\), \(BM \parallel CD\)). В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, \(MD = BC = 6\) см, а \(BM = CD\).

Рассмотрим треугольник \(ABM\). Сторона \(AM\) равна разности \(AD — MD\), так как \(M\) лежит на \(AD\), а \(MD = 6\) см: \(AM = AD — MD = AD — 6\).

Периметр треугольника \(ABM\) равен сумме его сторон: \(P_{ABM} = AB + BM + AM\). Подставим \(AM\): \(P_{ABM} = AB + BM + (AD — 6)\).

Из условия задачи известно, что \(P_{ABM} = 16\), значит:
\(AB + BM + AD — 6 = 16\).

Поскольку \(BM = CD\), имеем:
\(AB + CD + AD — 6 = 16\).

Отсюда:
\(AB + CD + AD = 16 + 6 = 22\).

Теперь найдем периметр трапеции \(ABCD\):
\(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\).

Из предыдущего шага \(AB + CD + AD = 22\), а \(BC = 6\), тогда:
\(P_{ABCD} = 22 + 6 = 28\) см.

Ответ: 28 см.

Оцени решение