ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 24 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В четырехугольнике \(ABCD\) известно, что \(\angle A = \angle C = 90^\circ\). Докажите, что биссектрисы двух других углов четырехугольника либо параллельны, либо лежат на одной прямой

Краткий ответ:

Решение:
1) В четырехугольнике ABCD: \(\angle A + \angle B + 2\angle C + 2\angle D = 360^\circ\); \(90^\circ + 2\angle B + 90^\circ + 2\angle D = 360^\circ\); \(\angle D = 180^\circ — 2\angle B\); \(\angle ABE = \frac{1}{2}\angle B\), \(\angle ADF = \frac{1}{2}\angle D\);
2) В прямоугольном \(\triangle ABE\): \(\angle ABE + \angle BEA = 90^\circ\); \(\angle BEA = 90^\circ — \angle ABE\);
3) Сумма смежных углов: \(\angle BED + 2\angle BEA = 180^\circ\); \(\angle BED + 90^\circ — \angle ABE = 180^\circ\); \(\angle BED = 90^\circ + \angle ABE\);
4) Для прямых BE и DF и секущей ED: \(\angle EDF + \angle BED = \frac{1}{2}\angle D + 90^\circ + \angle ABE = \frac{1}{2}(180^\circ — 2\angle B) + 90^\circ+\)
\( + \frac{1}{2}\angle B = 180^\circ\); \(BE \parallel DF\).

Подробный ответ:

Решение:
Дано:
— \(\angle A = \angle C = 90^\circ\)
— \(BE\) — биссектриса \(\angle B\)
— \(DF\) — биссектриса \(\angle D\)

Доказать: \(BE \parallel DF\)

Доказательство:
1) Рассмотрим четырехугольник ABCD. Сумма углов четырехугольника равна \(360^\circ\):
\(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\)

2) Подставляя известные углы \(\angle A = 90^\circ\) и \(\angle C = 90^\circ\), получаем:
\(90^\circ + \angle B + 90^\circ + \angle D = 360^\circ\)
\(\angle B + \angle D = 180^\circ\)

3) Так как \(DF\) является биссектрисой \(\angle D\), то \(\angle D = 2\cdot \angle LDF\). Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:
\(\angle B + 2\cdot \angle LDF = 180^\circ\)
\(\angle B = 180^\circ — 2\cdot \angle LDF\)

4) Аналогично, так как \(BE\) является биссектрисой \(\angle B\), то \(\angle B = 2\cdot \angle ABE\). Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:
\(2\cdot \angle ABE = 180^\circ — 2\cdot \angle LDF\)
\(\angle ABE = \frac{1}{2}(\angle B) = \frac{1}{2}(180^\circ — 2\cdot \angle LDF)\)

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. Так как \(\angle ABE + \angle BEA = 90^\circ\), то:
\(\angle BEA = 90^\circ — \angle ABE\)

6) Теперь рассмотрим сумму смежных углов \(\angle BED\) и \(2\cdot \angle BEA\):
\(\angle BED + 2\cdot \angle BEA = 180^\circ\)
\(\angle BED + 2\cdot (90^\circ — \angle ABE) = 180^\circ\)
\(\angle BED = 180^\circ — 2\cdot (90^\circ — \angle ABE)\)
\(\angle BED = 180^\circ — 180^\circ + 2\cdot \angle ABE\)
\(\angle BED = 2\cdot \angle ABE\)

7) Наконец, рассмотрим угол \(\angle EDF\) и угол \(\angle BED\):
\(\angle EDF + \angle BED = \frac{1}{2}\angle D + 90^\circ + \angle ABE\)
\(\angle EDF + 2\cdot \angle ABE = \frac{1}{2}(180^\circ — 2\cdot \angle B) + 90^\circ + \angle ABE\)
\(\angle EDF + 2\cdot \angle ABE = 90^\circ + 90^\circ + \angle ABE\)
\(\angle EDF + 2\cdot \angle ABE = 180^\circ\)

Таким образом, мы доказали, что \(\angle EDF = \angle BED\), то есть прямые \(BE\) и \(DF\) параллельны.

Оцени решение