ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 248 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Диагонали равнобокой трапеции \(ABCD\) (\(AB = CD\)) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что \(AO = OD\) и \(BO = OC\).

Краткий ответ:

Решение:

1) В трапеции ABCD: AB = CD, ∠A = ∠D;
2) Рассмотрим △ABD и △ACD: ∠BAD = ∠CAD;
AD — общая сторона; ∠ABD = ∠ACD — первый признак; ∠ADB = ∠ADC, BD = AC;
3) В треугольнике AOD: ∠DAO = ∠ADO;
△AOD — равнобедренный; AO = DO;
4) В треугольнике BOC: BO = BD — DO = AC — AO = CO.

Подробный ответ:

Дано: четырехугольник ABCD является трапецией, где AB = CD.

Доказательство:
1) Рассмотрим трапецию ABCD. Согласно условию, AB = CD, значит противоположные стороны трапеции равны.
2) Проведем диагональ AC, которая делит трапецию на два треугольника: △ABD и △ACD.
3) Так как AB = CD, то ∠A = ∠D (углы при основаниях трапеции равны).
4) Рассмотрим треугольники △ABD и △ACD. Поскольку AD — общая сторона, ∠BAD = ∠CAD (вертикальные углы), и AB = CD (по условию), то △ABD ≅ △ACD по первому признаку равенства треугольников.
5) Из равенства треугольников следует, что ∠ABD = ∠ACD.
6) Теперь рассмотрим треугольник AOD. Так как ∠DAO = ∠ADO (углы при основании равнобедренного треугольника), то △AOD — равнобедренный, значит AO = DO.
7) Аналогично, рассмотрим треугольник BOC. Так как BO = BD — DO = AC — AO = CO, то △BOC — равнобедренный.

Таким образом, мы доказали, что AO = DO и BO = CO, что и требовалось доказать.

Оцени решение