ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 25 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если биссектрисы двух противолежащих углов выпуклого четырехугольника параллельны или лежат на одной прямой, то два других угла четырехугольника равны.

1) В четырехугольнике ABCD: \(\frac{1}{2}\angle ABE = \frac{1}{2}\angle CBE\) и \(\frac{1}{2}\angle ADF = \frac{1}{2}\angle CDF\)
2) Для прямых BE и DF, секущей AD: \(\angle BEA = \angle DFE\)
3) В треугольнике ABE: \(\angle A = 180^\circ — \frac{1}{2}\angle B\)
4) Для прямых BE и DF, секущей BC: \(\angle DFC = \angle EBF = \frac{1}{2}\angle B\)
5) В треугольнике DCF: \(\angle C = 180^\circ — \frac{1}{2}\angle B — \frac{1}{2}\angle D = \angle A\)
Таким образом, \(\angle A = \angle C\).

Дано:
— BE — биссектриса угла ∠B;
— DF — биссектриса угла ∠D;
— BE ⊥ DF.

Требуется доказать: ∠A = ∠C.

Решение:
1) Рассмотрим четырехугольник ABCD. В нем:
\(\frac{1}{2}\angle ABE = \frac{1}{2}\angle CBE\)
\(\frac{1}{2}\angle ADF = \frac{1}{2}\angle CDF\)

2) Для прямых BE и DF, секущей AD:
\(\angle BEA = \angle DFE\)

3) В треугольнике ABE:
\(\angle ABE + \angle BEA + \angle BAE = 180^\circ\)
\(\frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle B + \angle A = 180^\circ\)
\(\angle A = 180^\circ — \angle B\)

4) Для прямых BE и DF, секущей BC:
\(\angle DFC = \angle EBF = \frac{1}{2}\angle B\)

5) В треугольнике DCF:
\(\angle DCF + \angle CDF + \angle CFD = 180^\circ\)
\(\angle C + \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle D = 180^\circ\)
\(\angle C = 180^\circ — \frac{1}{2}\angle B — \frac{1}{2}\angle D = \angle A\)

Таким образом, мы доказали, что \(\angle A = \angle C\).