ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 254 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а меньшее основание равно боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Ответ:
В трапеции ABCD:
1) BC || AD, AB = CD; LA = LD, LB = LC
2) ΔABC равнобедренный: ΔBCA = ΔBAC
3) Для AD и BC и секущей AC: ΔDAC = ΔBCA = 2ΔBAC
4) В прямоугольном ΔACD: ΔBAD = 2ΔDAC; ΔADC = ΔBAD = 2ΔDAC; ΔDAC + ΔADC = 90°; ΔDAC + 2ΔDAC = 90°; 3ΔDAC = 90°, ΔDAC = 30°; ΔADC = 2 · 30° = 60°
5) В трапеции ABCD: LA + LB = 180°; 60° + LB = 180°; LB = 120°

Ответ: 60°; 120°; 120°; 60°.

Решение:

Дано:
— Четырехугольник ABCD является трапецией.
— AB = BC = CD, то есть стороны AB, BC и CD равны.
— AC перпендикулярна CD, то есть \(\angle AC \perp CD\).

Чтобы найти значения углов ΔA, ΔB, ΔC и ΔD, будем использовать следующие шаги:

1. Рассмотрим трапецию ABCD. Так как BC параллельна AD (\(BC \| AD\)) и AB = CD, то \(\angle LA = \angle LD\) и \(\angle LB = \angle LC\).

2. Треугольник ABC является равнобедренным, так как AB = BC. Следовательно, \(\angle ABC = \angle BAC\).

3. Для отрезков AD, BC и секущей AC, углы \(\angle DAC\) и \(\angle BCA\) равны, так как они являются накрест лежащими углами. Таким образом, \(\angle DAC = \angle BCA = 2\angle BAC\).

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. В прямоугольном треугольнике сумма углов равна \(90°\). Следовательно, \(\angle BAD = 2\angle DAC\), \(\angle ADC = \angle BAD = 2\angle DAC\), \(\angle DAC + \angle ADC = 90°\), \(\angle DAC + 2\angle DAC = 90°\), \(\angle 3DAC = 90°\), \(\angle DAC = 30°\), \(\angle ADC = 2 \cdot 30° = 60°\).

5. Вернемся к трапеции ABCD. Сумма углов трапеции равна \(180°\). Следовательно, \(\angle LA + \angle LB = 180°\), \(60° + \angle LB = 180°\), \(\angle LB = 120°\).

Ответ: \(60°, 120°, 120°, 60°\).