ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 261 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Средняя линия трапеции \(ABCD\) разбивает ее на две трапеции, средние линии которых равны 15 см и 19 см. Найдите основания трапеции \(ABCD\).

Решение:

1) В трапеции EKPN: \(EF = \frac{1}{2}AF = \frac{1}{2}FB = FK\), \(NM = \frac{1}{2}DM = \frac{1}{2}MC = MP\), \(FM = \frac{1}{2}(EN + KP)\)
2) В трапеции FBCM: \(KP = \frac{1}{2}(FM + BC)\), \(FM + BC = 2KP\), \(17 + BC = 2 \cdot 15\), \(BC = 30 — 17 = 13\)
3) В трапеции AFMD: \(EN = \frac{1}{2}(AD + FM)\), \(AD + FM = 2EN\), \(AD + 17 = 2 \cdot 19\), \(AD = 38 — 17 = 21\)
Ответ: 13 см; 21 см.

Дано: трапеция ABCD, средние линии FM, KP и EN.

Решение:
1) Найдем длину средней линии FM в трапеции EKPN.
Согласно свойствам трапеции, средняя линия FM равна полусумме оснований EK и PN:
\(EF = \frac{1}{2}AF = \frac{1}{2}FB = FK\)
\(FM = \frac{1}{2}(EN + KP)\)

2) Найдем длину средней линии KP в трапеции FBCM.
Средняя линия KP равна полусумме оснований FB и CM:
\(KP = \frac{1}{2}(FM + BC)\)
Используя связь между средней линией и основаниями трапеции:
\(FM + BC = 2KP\)
Решая систему уравнений, получаем:
\(17 + BC = 2 \cdot 15\)
\(BC = 30 — 17 = 13\)

3) Найдем длину средней линии EN в трапеции AFMD.
Средняя линия EN равна полусумме оснований AF и MD:
\(EN = \frac{1}{2}(AD + FM)\)
Используя связь между средней линией и основаниями трапеции:
\(AD + FM = 2EN\)
Решая систему уравнений, получаем:
\(AD + 17 = 2 \cdot 19\)
\(AD = 38 — 17 = 21\)

Ответ: AD = 21 см, BC = 13 см.