ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 262 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то ее высота равна средней линии трапеции.

Решение:

1) В трапеции ABCD: AB = CD, AI = DI; BH ⊥ AD; HD = \(\frac{1}{2}(AD + BC)\);
EF — средняя линия; EF = \(\frac{1}{2}(AD + BC) = HD\);
2) ΔAID равнобедренный: \(\angle DAI = \angle ADI\), \(\angle AID = 90°\); \(\angle ADI + \angle ADI + \angle AID = 180°\); \(\angle ADI + \angle ADI + 90° = 180°\); \(2\angle ADI = 90°\), \(\angle ADI = 45°\);
3) В прямоугольном ΔBHD: \(\angle DBH + \angle BDH = 90°\); \(\angle DBH + 45° = 90°\); \(\angle DBH = 45°\), ΔBHD — равнобедренный; BH = HD = EF.

Дано: четырехугольник ABCD является трапецией, EF — средняя линия, BH — высота, AB = CD, AC ⊥ BD.

Доказать: BH = EF

Решение:
1) Рассмотрим трапецию ABCD. Согласно свойствам трапеции, противоположные стороны AB и CD равны, то есть AB = CD.
2) Так как AC ⊥ BD, то точки A, I, D и точки B, I, C лежат на параллельных прямых. Следовательно, AI = DI.
3) Проведем высоту BH, перпендикулярную основанию AD. Тогда треугольники ADI и BDI будут равнобедренными, так как AI = DI и BD общая сторона.
4) В равнобедренном треугольнике ADI угол при вершине A равен углу при вершине D, то есть \(\angle ADI = \angle DAI\). Аналогично, в треугольнике BDI \(\angle BDI = \angle DBI\).
5) Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \(\angle ADI + \angle DAI + \angle AID = 180°\). Так как \(\angle ADI = \angle DAI\), то \(2\angle ADI + \angle AID = 180°\), откуда \(\angle ADI = 45°\).
6) Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Так как \(\angle DBH + \angle BDH = 90°\), то \(\angle DBH = 45°\), то есть ΔBHD — равнобедренный.
7) Так как ΔBHD — равнобедренный, то BH = HD.
8) Средняя линия EF трапеции равна полусумме оснований, то есть \(EF = \frac{1}{2}(AB + CD) = \frac{1}{2}(AB + AB) = AB\).
9) Поскольку BH = HD = EF, то BH = EF.

Таким образом, доказано, что BH = EF.