ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 263 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если высота равнобокой трапеции равна ее средней линии, то диагонали трапеции перпендикулярны.

Решение:

1) В трапеции ABCD: AB = CD, AI = DI; BH ⊥ AD; HD = \(\frac{1}{2}(AD + BC)\); EF — средняя линия; EF = \(\frac{1}{2}(AD + BC) = HD\); BH = EF = HD;
2) ΔBHD равнобедренный: \(\angle\)DBH = \(\angle\)BDH, \(\angle\)BHD = 90°; \(\angle\)DBH + \(\angle\)BDH + \(\angle\)BHD = 180°; \(\angle\)BDH + 90° = 180°; \(\angle\)BDH = 45°;
3) ΔAID равнобедренный: \(\angle\)DAI = \(\angle\)ADI = 45°; \(\angle\)DAI + \(\angle\)ADI + \(\angle\)AID = 180°; 45° + 45° + \(\angle\)AID = 180°; \(\angle\)AID = 90°.

Дано: четырехугольник ABCD является трапецией, EF — средняя линия, BH — высота, AB = CD, BH = EF.

Требуется доказать: AC ⊥ BD.

Решение:
1) Рассмотрим трапецию ABCD. Согласно условию, AB = CD, значит противоположные стороны трапеции равны. Также известно, что AI = DI, так как точки A и D являются серединами противоположных сторон BC и AD соответственно.

2) Высота BH трапеции ABCD перпендикулярна основанию AD, так как BH ⊥ AD. Это следует из определения высоты трапеции.

3) Средняя линия EF трапеции ABCD параллельна основаниям BC и AD. Согласно свойству средней линии трапеции, EF = \(\frac{1}{2}\)(BC + AD). Также, поскольку AB = CD, то EF = \(\frac{1}{2}\)(AB + CD) = \(\frac{1}{2}\)(2CD) = CD.

4) Так как BH = EF, то BH = CD. Следовательно, прямоугольные треугольники ABH и DCH равны по двум сторонам (AB = CD и BH = CD). Поэтому угол ACB равен углу ADB, то есть AC ⊥ BD.

Таким образом, мы доказали, что AC ⊥ BD.