ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 264 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ прямоугольной трапеции разбивает ее на два треугольника, один из которых равносторонний со стороной \(a\). Найдите среднюю линию трапеции

Решение:
1) В трапеции ABCD: \(\angle A = \angle B = 90^\circ\); EF — средняя линия; \(EF = \frac{1}{2}(AD + BC)\)
2) В равностороннем ΔACD: \(AC = CD = AD = a\); \(\angle DAC = 60^\circ\)
3) В прямоугольном ΔABC: \(\angle BAC = \angle A — \angle DAC\); \(\angle BAC = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ\); \(BC = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\)
4) В трапеции ABCD: \(EF = \frac{1}{2}\left(a + \frac{a}{2}\right) = \frac{3a}{4}\)

Ответ: \(\frac{3a}{4}\)

Итак, рассмотрим задачу поэтапно:

Дано:
— Трапеция ABCD
— Равносторонний треугольник ΔACD
— Средняя линия EF

Шаг 1: Найдем углы в трапеции ABCD.
Так как трапеция ABCD является прямоугольной, то \(\angle A = \angle B = 90^\circ\).

Шаг 2: Найдем длину средней линии EF.
Средняя линия EF делит трапецию ABCD пополам, поэтому ее длина равна полусумме длин оснований:
\(EF = \frac{1}{2}(AD + BC)\)

Шаг 3: Найдем длину стороны AC в равностороннем треугольнике ΔACD.
Так как ΔACD является равносторонним, то \(AC = CD = AD = a\) и \(\angle DAC = 60^\circ\).

Шаг 4: Найдем угол \(\angle BAC\) в прямоугольном треугольнике ΔABC.
Так как ΔABC является прямоугольным, то \(\angle BAC = \angle A — \angle DAC\).
\(\angle BAC = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ\)

Шаг 5: Найдем длину стороны BC в прямоугольном треугольнике ΔABC.
Так как ΔABC является прямоугольным, то \(BC = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\).

Шаг 6: Найдем длину средней линии EF.
Подставив найденные значения в формулу для средней линии EF, получаем:
\(EF = \frac{1}{2}(AD + BC) = \frac{1}{2}\left(a + \frac{a}{2}\right) = \frac{3a}{4}\)

Ответ: \(\frac{3a}{4}\)