ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 265 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции разбивает ее на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

Решение:
1) В трапеции ABCD: \(AD \parallel BC, AB = CD\); \(LA = LD, 2B = LC\)
2) ΔABD равнобедренный: \(LABD = LDAB = LA\)
3) ABCD равнобедренный: \(2DBC = 2BDC\); \(2DBC + 2BDC + 2BCD = 180°\); \(2DBC + 2DBC + 2B = 180°\); \(2DBC = 180° — 2B\); \(LDBC = 90° — \frac{1}{2}LB\)
4) В трапеции ABCD: \(LB = LABD + 2DBC\); \(LB = LA + 90° — \frac{2}{3}LB\); \(\frac{3}{2}LB = LA + 90°\); \(LB = \frac{2}{3}LA + 60°\); \(LA + LB = 180°\); \(LA + \frac{2}{3}LA + 60° = 180°\)
5) \(\frac{5}{3}LA = 120°\), \(LB = \frac{2}{3} \cdot 72° + 60° = 108°\)

Ответ: 72°; 108°; 108°; 72°.

Дано: четырехугольник ABCD является трапецией, \(\Delta\)ABD — равнобедренный треугольник, \(\Delta\)ABCD — равнобедренный треугольник.

Решение:
1) Рассмотрим трапецию ABCD. Так как AD параллельно BC, то \(AD \parallel BC\). Также известно, что AB = CD, значит \(AB = CD\).

2) Далее рассмотрим равнобедренный треугольник \(\Delta\)ABD. Так как треугольник равнобедренный, то \(\angle\)ABD = \(\angle\)ADB. Обозначим эти углы как \(LA\).

3) Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник \(\Delta\)ABCD. Так как треугольник равнобедренный, то \(2\angle\)DBC = \(2\angle\)BDC. Сумма всех углов в треугольнике равна 180°, поэтому \(2\angle\)DBC + \(2\angle\)BDC + \(\angle\)BCD = 180°. Упростив это уравнение, получим \(2\angle\)DBC + \(2\angle\)DBC + \(2\angle\)B = 180°. Далее, \(2\angle\)DBC = 180° — \(2\angle\)B. Таким образом, \(\angle\)DBC = 90° — \(\frac{1}{2}\angle\)B.

4) Вернемся к равнобедренному треугольнику \(\Delta\)ABD. Так как \(\angle\)ABD = \(\angle\)ADB = \(LA\), то \(\angle\)B = \(2LA\). Следовательно, \(\angle\)DBC = 90° — \(\frac{1}{2}\)·\(2LA\) = 90° — \(LA\).

5) Теперь рассмотрим трапецию ABCD. Так как \(\angle\)B = \(2LA\), то \(\angle\)B = \(\angle\)ABD + \(\angle\)DBC. Таким образом, \(\angle\)B = \(LA\) + \(90° — LA\) = 90°.

6) Из равенства \(\angle\)B = 90° следует, что \(\angle\)A + \(\angle\)B = 180°. Следовательно, \(\angle\)A = 180° — \(\angle\)B = 180° — 90° = 90°.

7) Так как \(\angle\)A = \(\angle\)D = 90°, то четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Ответ: 72°; 108°; 108°; 72°.