ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 266 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В трапеции \(ABCD\) (\(BC\| AD\)) известно, что \(AC \perp BD\), \(\angle CAD = 30^\circ\), \(BD = 8\) см. Найдите среднюю линию трапеции.

Краткий ответ:

Решение:
1) В трапеции ABCD: AD || BC;
EF — средняя линия;
EF = \(\frac{1}{2}(AD + BC)\)
2) Для AD и BC и секущей AC: \(\angle BCA = \angle CAD = 30^\circ\)
3) В прямоугольном ΔAID: \(\angle DAI = 30^\circ\); AD = 2DI
4) В прямоугольном ΔBIC: \(\angle BCI = 30^\circ\); BC = 2BI
5) В трапеции ABCD:
EF = \(\frac{1}{2}(2DI + 2BI)\)
EF = DI + BI = BD = 8 см

Ответ: 8 см.

Подробный ответ:

Дано:
— Четырехугольник ABCD является трапецией
— Средняя линия EF
— Прямая AC параллельна прямой BD
— Угол \(\angle CAD = 30^\circ\)
— Длина BD = 8 см

Решение:
1) Так как ABCD — трапеция, то противоположные стороны AD и BC параллельны. Следовательно, \(AD || BC\).

2) Средняя линия EF в трапеции делит противоположные стороны пропорционально. Таким образом, длина EF равна половине суммы длин оснований трапеции:
\(EF = \frac{1}{2}(AD + BC)\)

3) Так как прямая AC параллельна прямой BD, то углы \(\angle BCA\) и \(\angle CAD\) равны по 30 градусов каждый, так как вертикальные углы равны.

4) В прямоугольном треугольнике ΔAID, так как \(\angle DAI = 30^\circ\), то \(AD = 2DI\).

5) В прямоугольном треугольнике ΔBIC, так как \(\angle BCI = 30^\circ\), то \(BC = 2BI\).

6) Подставляя найденные значения в формулу для средней линии EF:
\(EF = \frac{1}{2}(AD + BC) = \frac{1}{2}(2DI + 2BI) = DI + BI = BD = 8\) см

Ответ: Длина средней линии EF равна 8 см.

Оцени решение