ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 267 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, принадлежит прямой, содержащей ее среднюю линию.

Решение:
В трапеции ABCD: \(AD \parallel BC\), \(2A + 2B = 180^\circ\), средняя линия MN. В треугольнике ABO: \(\angle BAO + \angle ABO + \angle AOB = 180^\circ\), \(\angle AOB = 90^\circ\). На прямой OM: \(MK = OM\). В четырехугольнике AKBO: \(AM = BM\), \(OM = KM\), \(\angle AOB = 90^\circ\), \(AB = KO\). В треугольнике MBO: \(BM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}KO = OM\), \(\angle MBO = \angle MBO\). Для прямых OM, BC и секущей BO: \(\angle MOB = \angle MBO = \angle OBC\), \(OM \parallel BC\). Таким образом, точка O лежит на средней линии MN.

Решение задачи:

Дано:
— Четырехугольник ABCD является трапецией.
— Отрезок AE является биссектрисой угла ∠A.
— Отрезок BF является биссектрисой угла ∠B.
— Отрезок MN является средней линией трапеции.
— Прямые AE и BF пересекаются в точке O.

Доказать: Точка O лежит на средней линии MN.

Решение:
1) В трапеции ABCD:
\(AD \parallel BC\)
\(2A + 2B = 180^\circ\)
Средняя линия MN делит трапецию пополам.
\(AM = BM\)
\(MN \parallel BC\)

2) В треугольнике ABO:
\(\angle BAO + \angle ABO + \angle AOB = 180^\circ\)
\(\frac{1}{2}A + \frac{1}{2}B + \angle AOB = 180^\circ\)
\(\angle AOB = 90^\circ\)

3) На прямой OM отмечаем точку K, такую что MK = OM.

4) В четырехугольнике AKBO:
\(AM = BM\)
\(OM = KM\)
\(\angle AOB = 90^\circ\)
Четырехугольник AKBO является прямоугольником.
\(AB = KO\)

5) В треугольнике MBO:
\(BM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}KO = OM\)
Треугольник MBO является равнобедренным.
\(\angle MBO = \angle MBO\)

6) Для прямых OM, BC и секущей BO:
\(\angle MOB = \angle MBO = \angle OBC\)
\(OM \parallel BC\)
Точка O лежит на средней линии MN.

Таким образом, доказано, что точка O лежит на средней линии MN.