ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 271 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через вершину \(B\) параллелограмма \(ABCD\) проведена прямая, которая не имеет с параллелограммом других общих точек. Вершины \(A\) и \(C\) удалены от этой прямой на расстояния \(a\) и \(b\) соответственно. Найдите расстояние от точки \(D\) до этой прямой.

Решение:

1) Построим: AC ⊥ BD = 0, OK ⊥ EF;
2) В параллелограмме ABCD: AO = OC, BO = DO;
3) В четырехугольнике EFCA: EA ⊥ EF, FC ⊥ EF; EFCA — трапеция; KO ⊥ EF, EA ⊥ EF; KO ∥ EA, AO = OC; KO — средняя линия; KO = \(\frac{1}{2}\)(EA + FC); KO = \(\frac{1}{2}\)(a + b);
4) В прямоугольном ΔBMD: KO ⊥ BM, DM ⊥ BM; DM ∥ KO, BO = DO; KO — средняя линия; DM = 2KO = a + b.
Ответ: a + b.

Решение:

Дано:
— Параллелограмм ABCD
— AE ⊥ BE, AE = a
— CF ⊥ BE, CF = b
— DM ⊥ EF

Требуется найти: DM

1. Построим вспомогательные линии:
— Проведем прямую AC, перпендикулярную BD: AC ⊥ BD
— Отметим точку пересечения AC и BD как O, тогда AC ∩ BD = O
— Проведем прямую OK, перпендикулярную EF: OK ⊥ EF

2. Рассмотрим параллелограмм ABCD:
— Так как ABCD — параллелограмм, то AO = OC и BO = DO

3. Рассмотрим четырехугольник EFCA:
— Так как EA ⊥ EF и FC ⊥ EF, то EFCA является трапецией
— KO ⊥ EF, EA ⊥ EF
— KO ∥ EA, AO = OC
— KO является средней линией трапеции EFCA
— Длина KO вычисляется как \(KO = \frac{1}{2}(EA + FC) = \frac{1}{2}(a + b)\)

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BMD:
— Так как KO ⊥ BM и DM ⊥ BM, то DM ∥ KO
— Так как DM ∥ KO и BO = DO, то DM = 2KO
— Таким образом, DM = 2 \(\left(\frac{1}{2}(a + b)\right) = a + b\)

Ответ: DM = a + b