ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 272 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В окружности проведены диаметры \(AB\) и \(CD\). Докажите, что \(AC = BD\) и \(AC \perp BD\).

Решение:
1) Рассмотрим окружность: \(AO = BO = CO = DO = R\);
2) Рассмотрим \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\): \(\angle AOC = \angle BOD\) — вертикальные; \(\triangle AOC = \triangle BOD\) — первый признак; \(AC = BD\), \(\angle ACO = \angle BDO\);
3) Для \(AC\) и \(BD\) и секущей \(CD\) \(\angle ACD = 2\angle BDC\), \(AC \perp BD\).

Дано:
— Диаметр окружности \(AB = CD\)
— Необходимо доказать, что \(AC = BD\) и \(AC \perp BD\)

Решение:
1) Рассмотрим окружность. Так как \(AB\) и \(CD\) являются диаметрами, то \(AO = BO = CO = DO = R\), где \(R\) — радиус окружности.

2) Рассмотрим треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\). Так как \(\angle AOC = \angle BOD\) (вертикальные углы), а стороны \(AO = BO\) и \(CO = DO\) (радиусы окружности), то по первому признаку равенства треугольников \(\triangle AOC = \triangle BOD\). Следовательно, \(AC = BD\) и \(\angle ACO = \angle BDO\).

3) Рассмотрим прямые \(AC\) и \(BD\) и секущую \(CD\). Так как \(\angle ACD = 2\angle BDC\) (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу), то \(AC \perp BD\).

Таким образом, мы доказали, что \(AC = BD\) и \(AC \perp BD\), что и требовалось доказать.