ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 273 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В окружности с центром \(O\) проведены диаметр \(AB\) и хорда \(AC\). Докажите, что \(\angle BOC = 2 \angle BAC\).

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(OA = OC = R\);
2) Угол \(\angle AOC\) равнобедренный: \(\angle AOC = 180° — \angle BOC\);
\(\angle AOC = \angle OCA\); \(2\angle AOC + \angle AOC + \angle BOC = 180°\);
\(2\angle AOC + 180° — \angle BOC = 180°\); \(2\angle AOC = \angle BOC\);
Что и требовалось доказать.

Дано:
— Диаметр окружности \(AB\)
— Хорда \(AC\)
— Требуется доказать, что \(\angle BOC = 2\angle BAC\)

Решение:
1) Рассмотрим окружность, в которой диаметр \(AB\) и хорда \(AC\). Согласно свойствам окружности, центр окружности \(O\) является серединой диаметра \(AB\), поэтому \(OA = OC = R\), где \(R\) — радиус окружности.

2) Угол \(\angle AOC\) является центральным углом окружности, а угол \(\angle BOC\) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу \(AC\), что и центральный угол \(\angle AOC\). Согласно теореме о вписанном и центральном углах, опирающихся на одну и ту же дугу, \(\angle AOC = 2\angle BOC\).

3) Далее, угол \(\angle AOC\) является равнобедренным, так как \(OA = OC\). Следовательно, \(\angle AOC = \angle OAC\).

4) Сумма углов треугольника равна \(180°\), поэтому:
\(\angle AOC + \angle OAC + \angle BOC = 180°\)
Подставляя \(\angle AOC = \angle OAC\), получаем:
\(2\angle AOC + \angle BOC = 180°\)
Делим обе части на 2:
\(\angle AOC + \frac{\angle BOC}{2} = 90°\)

5) Так как \(\angle AOC = 2\angle BOC\), то \(\angle BOC = \frac{\angle AOC}{2}\). Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:
\(\angle AOC + \frac{\angle AOC}{2} = 90°\)
Упрощая:
\(\frac{3\angle AOC}{2} = 90°\)
\(\angle AOC = \frac{60°}{3} = 20°\)

6) Таким образом, \(\angle BOC = \frac{\angle AOC}{2} = 10°\).

7) Согласно теореме о вписанном и центральном углах, опирающихся на одну и ту же дугу, \(\angle AOC = 2\angle BOC\). Подставляя найденные значения, получаем:
\(20° = 2\angle BOC\)
\(\angle BOC = 10°\)

Следовательно, \(\angle BOC = 2\angle BAC\), что и требовалось доказать.