ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 274 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямая \(AB\) касается окружности с центром \(O\) в точке \(C\), \(AC = BC\). Докажите, что \(OA = OB\).

Решение:
1) Рассмотрим окружность: АВ — касательная; ОС ⊥ АВ;
2) В треугольнике АОВ: ОС ⊥ АВ, АС = ВС (по условию)
ОС — высота и медиана; ОА = ОВ.

Дано: отрезок АВ является касательной к окружности, точка С является точкой касания, и отрезки АС и ВС равны.

Доказательство:
1) Рассмотрим окружность с центром в точке О. Отрезок АВ является касательной к этой окружности в точке С.
2) Согласно теореме о касательной и секущей, отрезок ОС перпендикулярен касательной АВ: \(ОС \perp АВ\).
3) Так как отрезки АС и ВС равны по условию, треугольник АОС равнобедренный. Следовательно, высота ОС является также медианой треугольника АОС.
4) Из свойств равнобедренного треугольника следует, что \(ОА = ОВ\).

Таким образом, мы доказали, что \(ОА = ОВ\), что и требовалось доказать.