ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 277 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Многоугольник разбит на треугольники, которые окрашены в черный и белый цвета так, что любые два треугольника, имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета. Докажите, что количество черных треугольников не больше утроенного количества белых треугольников.

Доказательство:
1) Каждый черный треугольник имеет не более трех граничащих с ним белых треугольников, поэтому количество черных треугольников не может превышать утроенное количество белых треугольников.
2) Таким образом, количество черных треугольников не может превышать \(3 \cdot \text{количество белых треугольников}\).

Доказательство:
Пусть многоугольник разбит диагоналями на треугольники, которые окрашены в черный и белый цвета так, что два любых соседних треугольника окрашены в разные цвета. Требуется доказать следующие утверждения:

1) Каждый черный треугольник имеет не более трех граничащих с ним белых треугольников.
Рассмотрим произвольный черный треугольник. Он имеет три стороны, каждая из которых является общей со смежным белым треугольником. Таким образом, черный треугольник может иметь не более трех граничащих с ним белых треугольников.

2) Количество черных треугольников не может превышать утроенное количество белых треугольников.
Пусть \(n_b\) — количество белых треугольников, а \(n_c\) — количество черных треугольников. Согласно первому утверждению, каждый черный треугольник имеет не более трех граничащих с ним белых треугольников. Следовательно, общее число граней белых треугольников, граничащих с черными, не превышает \(3 \cdot n_c\). С другой стороны, каждая грань белого треугольника является общей с ровно одним черным треугольником. Поэтому общее число граней белых треугольников, граничащих с черными, равно \(n_b\). Таким образом, \(n_b \le 3 \cdot n_c\), или \(n_c \ge \frac{1}{3} \cdot n_b\).

Следовательно, доказано, что количество черных треугольников не может превышать утроенное количество белых треугольников.