ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 290 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 96 хорды \(AB\) и \(CD\) равны. Докажите, что \(\angle AMB = \angle CND\).

Решение:
1) Рассмотрим окружность: \(OA = OB = OC = OD = R\);
2) Рассмотрим \(\Delta AOB\) и \(\Delta COD\): \(OA = OC\), \(OB = OD\), \(AB = CD\); \(\Delta AOB = \Delta COD\) — третий признак; \(\angle AOB = 2\angle COD\);
3) Рассмотрим окружность: \(\angle AMB = \angle AOB = 2\angle COD = \angle CND\). Что и требовалось доказать.

Дано: \(AB = CD\)
Доказать: \(\angle AMB = \angle CND\)

Решение:
1) Рассмотрим окружность, в которой лежат точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(M\) и \(N\). Согласно условию, радиусы этой окружности равны: \(OA = OB = OC = OD = R\).
2) Рассмотрим треугольники \(\Delta AOB\) и \(\Delta COD\). Из условия следует, что \(AB = CD\), а также \(OA = OC\) и \(OB = OD\). Таким образом, треугольники \(\Delta AOB\) и \(\Delta COD\) равны по третьему признаку равенства треугольников. Следовательно, \(\angle AOB = \angle COD\).
3) Так как \(\angle AOB = \angle COD\), то \(\angle AMB = 2\angle AOB = 2\angle COD = \angle CND\). Что и требовалось доказать.