ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 291 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.

Решение:
1) Рассмотрим окружность: \(OA = OB = OC = OD = R\), \(\angle AOB = \angle AMB = \angle CND = 2\angle COD\);
2) Рассмотрим \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\): \(OA = OC\), \(OB = OD\), \(\angle AOB = \angle COD\); \(\triangle AOB = \triangle COD\) — первый признак; \(AB = CD\).
Что и требовалось доказать.

Решение:

Дано: \(U AMB = U CND\)
Доказать: \(AB = CD\)

Рассмотрим данную геометрическую задачу пошагово:

1) Проанализируем данные, которые нам даны в условии: \(U AMB = U CND\). Это означает, что угол \(AMB\) равен углу \(CND\).

2) Далее, рассмотрим окружность, в которой расположены точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\). Мы можем заметить, что отрезки \(OA\), \(OB\), \(OC\) и \(OD\) равны между собой и равны радиусу окружности \(R\): \(OA = OB = OC = OD = R\).

3) Теперь рассмотрим углы, образованные этими отрезками. Поскольку точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежат на окружности, то центральные углы \(\angle AOB\), \(\angle AMB\) и \(\angle COD\) равны между собой и равны \(2\angle COD\): \(\angle AOB = \angle AMB = \angle COD = 2\angle COD\).

4) Далее, рассмотрим треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\). Из пунктов 2 и 3 мы можем сделать вывод, что в этих треугольниках:
— Стороны равны: \(OA = OC\), \(OB = OD\)
— Углы равны: \(\angle AOB = \angle COD\)

5) Согласно первому признаку равенства треугольников, если две стороны и угол между ними равны, то треугольники равны: \(\triangle AOB = \triangle COD\).

6) Из равенства треугольников следует, что \(AB = CD\), что и требовалось доказать.