ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 292 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(A\), \(B\) и \(C\) делят окружность на три дуги так, что \(\angle AB : \angle BC : \angle AC = 1 : 2 : 3\). Найдите углы треугольника \(ABC\).

Решение:

Рассмотрим окружность: \(UAB + UBC + UAC = 360°\);
\(
\frac{1}{2}UBC + UBC + \frac{3}{2}UBC = 360°
\);
\(3UBC = 360°, UBC = 120°\);
\(UAB = \frac{1}{2}\cdot 120° = 60°\);
\(UAC = \frac{3}{2}\cdot 120° = 180°\);
\(LBAC = \frac{1}{2}UBC = 60°\);
\(LABC = \frac{1}{2}UAC = 90°\);
\(LACB = \frac{1}{2}UAB = 30°\).
Ответ: 30°, 60°, 90°.

Дано: \(UAB : UBC : UAC = 1 : 2 : 3\)

Решение:
1. Рассмотрим окружность, в которую вписан треугольник ABC. Согласно условию, сумма углов треугольника должна быть равна \(360°\):
\(UAB + UBC + UAC = 360°\)

2. Подставим соотношение углов из условия:
\(UAB + 2UAB + 3UAB = 360°\)
\(6UAB = 360°\)
\(UAB = 60°\)

3. Найдем остальные углы треугольника:
\(UBC = 2UAB = 2 \cdot 60° = 120°\)
\(UAC = 3UAB = 3 \cdot 60° = 180°\)

4. Найдем величины углов треугольника:
\(LBAC = \frac{1}{2}UBC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\)
\(LABC = \frac{1}{2}UAC = \frac{1}{2} \cdot 180° = 90°\)
\(LACB = \frac{1}{2}UAB = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°\)

Ответ: \(30°, 60°, 90°\)