ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 297 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Хорды \(AB\) и \(CD\) окружности пересекаются в точке \(M\) (рис. 97). Докажите, что \(\angle AMC = \frac{1}{2}(\angle AC+\angle BD)\).

Краткий ответ:

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(\angle BCD = \frac{1}{2} \angle BD\)
2) В треугольнике ВМС: \(\angle AMC\) — внешний, \(\angle AMC = \angle MBC + \angle MCB\)
3) \(\angle AMC = \frac{1}{2} \angle AC + \frac{1}{2} \angle BD\)

Подробный ответ:

Дано: AB ∩ CD = M

Доказать: \(\angle AMC = \frac{1}{2} \angle AC + \frac{1}{2} \angle BD\)

Решение:
1) Рассмотрим окружность, описанную вокруг треугольника ABC. Так как точка M является точкой пересечения диаметров окружности, то \(\angle BCD = \frac{1}{2} \angle BD\).
2) В треугольнике BMC, \(\angle AMC\) является внешним углом. Согласно свойству внешнего угла треугольника, \(\angle AMC = \angle MBC + \angle MCB\).
3) Из пункта 1 следует, что \(\angle MBC = \frac{1}{2} \angle BD\). Аналогично, \(\angle MCB = \frac{1}{2} \angle AC\).
4) Подставляя значения углов в формулу из пункта 2, получаем:
\(\angle AMC = \frac{1}{2} \angle BD + \frac{1}{2} \angle AC\)
5) Таким образом, доказано, что \(\angle AMC = \frac{1}{2} \angle AC + \frac{1}{2} \angle BD\).

Оцени решение