ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 298 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Хорды \(AB\) и \(CD\) окружности не пересекаются, а прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(M\) (рис. 98). Докажите, что \(\angle AMC = \frac{1}{2}(\angle AC-\angle BD)\).

Решение:
1) Рассмотрим окружность: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC\); \(\angle BCD = \frac{1}{2} \cup BD\);
2) В треугольнике BMC: \(\angle ABC\) — внешний; \(\angle ABC = \angle BCM + \angle BMC\); \(\angle BMC = \angle ABC — \angle BCM\);
\(\angle AMC = \frac{1}{2} (U AC — U BD)\).

Решение:

Дано: AB ∩ CD = M.

Доказать: \(\angle AMC = \frac{1}{2} (U AC — U BD)\).

Доказательство:

1. Рассмотрим окружность, в которой расположены точки A, B, C, D.
2. Так как AB ∩ CD = M, то угол AMC является вписанным в окружность.
3. Угол вписанный в окружность равен половине дуги, на которой он опирается.
4. Дуга AC опирается на угол ABC, следовательно, \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC\).
5. Аналогично, дуга BD опирается на угол BCD, следовательно, \(\angle BCD = \frac{1}{2} \cup BD\).
6. В треугольнике BMC, угол ABC является внешним.
7. Согласно свойству внешнего угла треугольника, \(\angle ABC = \angle BCM + \angle BMC\).
8. Следовательно, \(\angle BMC = \angle ABC — \angle BCM\).
9. Так как \(\angle BCM = \frac{1}{2} \cup BD\), то \(\angle BMC = \frac{1}{2} (\cup AC — \cup BD)\).
10. Таким образом, \(\angle AMC = \frac{1}{2} (U AC — U BD)\), что и требовалось доказать.