ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 301 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На дуге \(AC\) окружности, описанной около равностороннего треугольника \(ABC\), отметили точку \(M\) так, что \(\angle UAM = 2 \angle UCM\). Найдите углы треугольника \(AMC\).

Решение:
1) ΔАВС — равносторонний, \(\angle ABC = 60°\)
2) \(\angle ABM + \angle CBM = 60°\)
3) \(\frac{1}{2}U AM + \frac{1}{2}U CM = 60°\), \(U AM = 2U CM\)
4) \(2U CM + U CM = 120°\), \(3U CM = 120°\), \(U CM = 40°\)
5) \(U AM = 2 \cdot 40° = 80°\)
6) \(U ABC = 360° — U AM — U CM = 240°\)
7) \(\angle CAM = \frac{1}{2}U CM = 20°\)
8) \(\angle ACM = \frac{1}{2}U AM = 40°\)
9) \(\angle AMC = \frac{1}{2}U ABC = 120°\)

Ответ: \(20°\), \(40°\), \(120°\)

Дано: \(\Delta ABC\) — равносторонний, \(U AM = 2U CM\).
Найти: \(\Delta AMC\).

Решение:
1) Из условия, что \(\Delta ABC\) — равносторонний, следует, что \(\angle ABC = 60°\).
2) Рассмотрим окружность, описанную около \(\Delta ABC\). Так как \(\angle ABC = 60°\), то \(\angle ABM + \angle CBM = 60°\).
3) Так как \(U AM = 2U CM\), то \(\frac{1}{2}U AM + \frac{1}{2}U CM = 60°\), откуда \(U AM = 2U CM\).
4) Из \(2U CM + U CM = 120°\) следует, что \(3U CM = 120°\), а значит \(U CM = 40°\).
5) Тогда \(U AM = 2 \cdot 40° = 80°\).
6) Угол \(U ABC = 360° — U AM — U CM = 360° — 80° — 40° = 240°\).
7) Угол \(\angle CAM = \frac{1}{2}U CM = 20°\).
8) Угол \(\angle ACM = \frac{1}{2}U AM = 40°\).
9) Угол \(\angle AMC = \frac{1}{2}U ABC = 120°\).

Ответ: \(20°\), \(40°\), \(120°\).