ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 302 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Окружность, построенная на стороне \(AB\) треугольника \(ABC\) как на диаметре, пересекает прямые \(AC\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Докажите, что отрезки \(AK\) и \(BM\) — высоты треугольника \(ABC\).

Решение:

Рассмотрим окружность: AB — диаметр; \(\angle AB = 180^\circ\);
\(\angle AKB = \frac{1}{2}\angle AB = 90^\circ\);
\(\angle AMB = \frac{1}{2}\angle AB = 90^\circ\);
AK \(\perp\) BC, BM \(\perp\) AC.

Дано: треугольник ABC, где AB является диаметром окружности.

Доказательство:
1. Угол \(\angle AB\) в окружности является центральным углом и равен \(180^\circ\).
2. Так как AB является диаметром окружности, то угол \(\angle AKB\) является вписанным углом, который опирается на диаметр. Согласно свойству вписанных углов, \(\angle AKB = \frac{1}{2}\angle AB = 90^\circ\).
3. Аналогично, угол \(\angle AMB\) является вписанным углом, который опирается на диаметр AB. Следовательно, \(\angle AMB = \frac{1}{2}\angle AB = 90^\circ\).
4. Поскольку \(\angle AKB = 90^\circ\) и \(\angle AMB = 90^\circ\), то линии AK и BM перпендикулярны сторонам BC и AC соответственно.

Таким образом, доказано, что AK является высотой треугольника ABC, а BM также является высотой этого треугольника.