ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 303 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Окружность, построенная на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) как на диаметре, пересекает сторону \(AB\) в точке \(K\) так, что \(\angle ACK = \angle BCK\). Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный.

1) Рассмотрим окружность: АС — диаметр, \(\angle ACB = 180°\);
2) В треугольнике АВС: \(\angle ACK = \frac{1}{2}\angle ACB = 90°\), АС — биссектриса и высота, \(\triangle ABC\) — равнобедренный.

Дано: АС — диаметр окружности, \(\angle ACK = \angle BCK\).

Доказательство:
1) Рассмотрим окружность с диаметром АС. Так как АС — диаметр, то \(\angle ACB = 180°\).
2) В треугольнике АВС:
\(\angle ACK = \frac{1}{2}\angle ACB = \frac{1}{2}\cdot 180° = 90°\)
Таким образом, \(\angle ACK = \angle BCK\), следовательно, \(\triangle ABC\) — равнобедренный.
3) Также, так как АС — диаметр окружности, то АС является биссектрисой и высотой треугольника АВС.

Вывод: Доказано, что \(\triangle ABC\) — равнобедренный, так как \(\angle ACK = \angle BCK = 90°\), и АС является биссектрисой и высотой этого треугольника.