ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 305 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вершины квадрата \(ABCD\) лежат на окружности. На дуге \(AB\) отмечена произвольная точка \(M\). Докажите, что \(\angle AMD = \angle CMD = \angle CMB\).

Решение:

1) Рассмотрим квадрат ABCD: \(AB = BC = CD = AD\);
2) Рассмотрим окружность: \(AD = CD = BC\);
\(\frac{1}{2}\angle AMD = \frac{1}{2}\angle CMD = \frac{1}{2}\angle CMB\).

Дано: четырехугольник ABCD является квадратом.

Доказательство:

1) Рассмотрим стороны квадрата ABCD. Согласно условию, все стороны квадрата равны, то есть \(AB = BC = CD = AD\).

2) Рассмотрим углы квадрата ABCD. Поскольку все стороны равны, то и все углы квадрата равны. Следовательно, \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\).

3) Рассмотрим диагонали квадрата ABCD. Поскольку все стороны равны, то диагонали квадрата также равны и пересекаются под прямым углом в точке M. Таким образом, \(AM = BM = CM = DM\).

4) Рассмотрим угол AMD. Поскольку диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, то \(\angle AMD = 90^\circ\).

5) Рассмотрим угол CMD. Поскольку диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, то \(\angle CMD = 90^\circ\).

6) Рассмотрим угол CMB. Поскольку диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, то \(\angle CMB = 90^\circ\).

7) Таким образом, мы доказали, что \(\angle AMD = \angle CMD = \frac{1}{2}\angle CMB\).

Следовательно, доказано, что \(\angle AMD = \angle CMD = \frac{1}{2}\angle CMB\).