ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 309 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две окружности имеют единственную общую точку \(M\). Через точку \(M\) проведены две прямые, пересекающие данные окружности. Точки их пересечения с окружностями, отличные от точки \(M\), соединены хордами. Докажите, что эти хорды параллельны.

Решение:

1) Проведем касательную EF: М — точка касания;
2) В окружности с хордой АВ: \(\angle AME = \frac{1}{2}\angle AMB\);
3) В окружности с хордой CD: \(\angle DMF = \frac{1}{2}\angle DCM\);
4) Для АВ и CD и секущей ВС: \(\angle AME = \angle DMF\) — вертикальные; \(\angle ABM = \angle DCM\), AB \(\parallel\) CD.

Решение:

Дано:
— Точка М является точкой касания окружности.
— Требуется найти взаимное расположение хорд АВ и CD.

1) Проведем касательную EF к окружности в точке М. Касательная EF перпендикулярна радиусу ОМ в точке касания М.

2) Рассмотрим окружность с хордой АВ. Угол \(\angle AME\) между касательной EF и хордой АВ равен половине угла \(\angle AMB\) между хордой АВ и радиусом ОА: \(\angle AME = \frac{1}{2}\angle AMB\).

3) Аналогично, рассмотрим окружность с хордой CD. Угол \(\angle DMF\) между касательной EF и хордой CD равен половине угла \(\angle DCM\) между хордой CD и радиусом ОС: \(\angle DMF = \frac{1}{2}\angle DCM\).

4) Так как углы \(\angle AME\) и \(\angle DMF\) вертикальные, то они равны: \(\angle AME = \angle DMF\).

5) Из равенства вертикальных углов \(\angle AME = \angle DMF\) следует, что прямые АВ и CD параллельны: \(\angle ABM = \angle DCM\), АВ \(\parallel\) CD.

Таким образом, доказано, что хорды АВ и CD параллельны.