ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 310 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

К окружности, описанной около треугольника \(ABC\), проведена в точке \(B\) касательная, пересекающая прямую \(AC\) в точке \(D\). Отрезок \(BM\) — биссектриса треугольника \(ABC\). Докажите, что \(BD = MD\).

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(\angle DBA = \frac{1}{2}AB = \angle BCA\);
2) В треугольнике ВМС: \(\angle AMB\) — внешний; \(\angle AMB = \angle CBM + \angle BCM\); \(\angle AMB = \angle ABC + \angle DBA\);
3) В треугольнике DBM: \(\angle MBD = \angle MBA + \angle DBA\); \(\angle MBD = \frac{1}{2}\angle ABC + \angle DBA\); \(\angle MBD = \angle BMD\); \(\triangle DBA\) — равнобедренный; \(BD = MD\).

Решение:

Дано:
— BD — касательная к окружности;
— ВМ — хорда, перпендикулярная касательной BD.

Доказать: BD = MD.

Шаг 1. Рассмотрим окружность, в которую вписан треугольник ADB.
Согласно свойству вписанных углов, \(\angle DBA = \frac{1}{2}AB\) и \(\angle BCA = \frac{1}{2}AB\). Следовательно, \(\angle DBA = \angle BCA\).

Шаг 2. Рассмотрим треугольник ВМС.
Так как ВМ — хорда, перпендикулярная касательной BD, то \(\angle AMB\) является внешним углом треугольника ВМС.
Согласно свойству внешнего угла треугольника, \(\angle AMB = \angle CBM + \angle BCM\).
Кроме того, \(\angle AMB = \angle ABC + \angle DBA\), так как \(\angle DBA\) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу, что и \(\angle ABC\).

Шаг 3. Рассмотрим треугольник DBM.
Так как \(\angle MBD\) является углом в треугольнике DBM, то \(\angle MBD = \angle MBA + \angle DBA\).
Также \(\angle MBD = \frac{1}{2}\angle ABC + \angle DBA\), так как \(\angle ABC\) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу, что и \(\angle DBA\).
Таким образом, \(\angle MBD = \angle BMD\), что означает, что \(\triangle DBA\) является равнобедренным.

Следовательно, BD = MD, что и требовалось доказать.