ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 317 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан отрезок \(AB\). Найдите геометрическое место точек \(X\) таких, что треугольник \(AXB\) прямоугольны

1) Для вписанной окружности: \(\angle BAD = \angle CAD\), \(O\) — центр; \(O \in AD\), \(\angle BCO = \angle ACO\);
2) Для описанной окружности: \(\angle DCB = \frac{1}{2} \angle BD = \angle DAB\);
3) \(\triangle ABC\) равнобедренный: \(BD = CD\);
4) В \(\triangle AOC\): \(\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ\), \(\frac{1}{2}A + \frac{1}{2}C + \angle AOC = 180^\circ\), \(\angle AOC = 180^\circ — \frac{1}{2}(A + C)\);
5) В \(\triangle DOC\): \(\angle DOC = 180^\circ — \angle AOC\), \(\angle DOC = \frac{1}{2}(A + C)\), \(\angle DCO = \angle DCB + \angle BCO\), \(\angle DCO = \frac{1}{2}(A + C)\), \(\angle DOC = \angle DCO\), \(\triangle DOC\) равнобедренный, \(DO = CD = BD\).

Дано: \(AD\) — биссектриса \(\angle A\), \(O\) — центр вписанной окружности.

Доказать: \(DO = DB = DC\).

Решение:

1) Рассмотрим вписанную окружность \(\triangle ABC\). Так как \(AD\) — биссектриса \(\angle A\), то \(\angle BAD = \angle CAD\). Следовательно, \(O\) — центр вписанной окружности, и \(O\) лежит на прямой \(AD\).

2) Так как \(O\) — центр вписанной окружности, то \(\angle BOC = \angle AOC\). Таким образом, \(\angle BCO = \angle ACO\).

3) Рассмотрим описанную окружность \(\triangle ABC\). Так как \(\angle BCO = \angle ACO\), то \(\angle DCB = \frac{1}{2}\angle BD = \angle DAB\).

4) Так как \(\angle DCB = \angle DAB\), то \(\triangle ABC\) является равнобедренным, и, следовательно, \(BD = CD\).

5) Так как \(DO\) — биссектриса \(\angle AOC\), то \(DO = DB = DC\).

Таким образом, доказано, что \(DO = DB = DC\).