ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 318 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Биссектриса угла \(A\) треугольника \(ABC\) пересекает описанную около него окружность в точке \(D\). Точка \(O\) — центр вписанной окружности треугольника \(ABC\). Докажите, что \(DO = DB = DC\).

Решение:

1) В треугольнике ABC: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\);
2) Рассмотрим окружность: \(\angle C_1DB_1 = \frac{1}{2}(\angle AC_1B_1 + \angle A_1C)\); \(2\angle C_1DB_1 = \angle C_1A + \angle B_1A + \angle A_1C\); \(2\angle C_1DB_1 = 2\angle ACC_1 + 2\angle ABB_1 + 2\angle CAA_1\); \(\angle C_1DB_1 = \angle ACC_1 + \angle ABB_1 + \angle CAA_1\); \(\angle C_1DB_1 = \frac{1}{2}C + \frac{1}{2}B + \frac{1}{2}A\); \(\angle C_1DB_1 = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C) = 90^\circ\).

Решение:

Дано:
— Треугольник ABC с вершинами A, B, C и точками A1, B1, C1 на сторонах треугольника.
— AA1 — биссектриса угла A, BB1 — биссектриса угла B, CC1 — биссектриса угла C.
Требуется доказать: A1B1 ⊥ CC1.

Доказательство:
1) Рассмотрим треугольник ABC. Согласно свойству треугольника, сумма его углов равна \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\).

2) Теперь рассмотрим окружность, описанную вокруг треугольника ABC. Угол C1DB1 на окружности равен половине суммы углов AC1B1 и A1C, то есть \(\angle C_1DB_1 = \frac{1}{2}(\angle AC_1B_1 + \angle A_1C)\).

3) Удвоив угол C1DB1, получим: \(2\angle C_1DB_1 = \angle C_1A + \angle B_1A + \angle A_1C\).

4) Так как AA1, BB1 и CC1 являются биссектрисами треугольника ABC, то \(2\angle C_1DB_1 = 2\angle ACC_1 + 2\angle ABB_1 + 2\angle CAA_1\).

5) Разделив последнее равенство на 2, получим: \(\angle C_1DB_1 = \angle ACC_1 + \angle ABB_1 + \angle CAA_1\).

6) Используя свойство биссектрисы, имеем: \(\angle C_1DB_1 = \frac{1}{2}C + \frac{1}{2}B + \frac{1}{2}A\).

7) Наконец, применяя теорему о сумме углов в треугольнике, получаем: \(\angle C_1DB_1 = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C) = 90^\circ\).

Таким образом, доказано, что A1B1 ⊥ CC1.