ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 322 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Периметр треугольника \(ABC\) равен 30 см. Точка касания вписанной окружности со стороной \(AB\) делит ее в отношении 3 : 2, считая от вершины \(A\), а точка касания со стороной \(BC\) удалена от вершины \(C\) на 5 см. Найдите стороны треугольника.

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(AE = AK, BE = BF, CF = CK\)
2) В треугольнике АВС:
\(P_{ABC} = AB + BC + AC = 30\)
\(AE + BE + BF + CF + CK + AK = 30\)
\(AE + BE + BE + CF + CF + AE = 30\)
\(AE + BE + CF = 15\)
\(\frac{3}{2}BE + BE + 5 = 15\)
\(2.5BE = 10, BE = 4\)
\(AE = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6\)
\(AB = AE + BE = 6 + 4 = 10\)
\(BC = BF + CF = 4 + 5 = 9\)
\(AC = AK + CK = 6 + 5 = 11\)
Ответ: 9 см, 10 см, 11 см.

Решение:
Дано:
— \(P_{ABC} = 30\) см
— \(AE : BE = 3 : 2\)
— \(CF = 5\) см

Найти: \(AB, BC, AC\)

Шаг 1: Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC.
Согласно условию, \(AE = AK\), \(BE = BF\), и \(CF = CK\). Это значит, что треугольник AKC является равнобедренным, а отрезки AE, BF и CK являются радиусами описанной окружности.

Шаг 2: Составим уравнения для нахождения сторон треугольника ABC.
Из условия \(AE : BE = 3 : 2\) следует, что \(AE = \frac{3}{5}P_{ABC}\) и \(BE = \frac{2}{5}P_{ABC}\).
Запишем уравнения для периметра треугольника ABC:
\(P_{ABC} = AB + BC + AC = 30\)
\(AE + BE + BF + CF + CK + AK = 30\)
\(\frac{3}{5}P_{ABC} + \frac{2}{5}P_{ABC} + \frac{2}{5}P_{ABC} + 5 + 5 + \frac{3}{5}P_{ABC} = 30\)
\(\frac{15}{5}P_{ABC} = 30\)
\(P_{ABC} = 30\)

Шаг 3: Найдем длины сторон треугольника ABC.
Из уравнения \(AE + BE + BF + CF + CK + AK = 30\) получаем:
\(\frac{3}{5}P_{ABC} + \frac{2}{5}P_{ABC} + \frac{2}{5}P_{ABC} + 5 + 5 + \frac{3}{5}P_{ABC} = 30\)
\(30 = 30\)

Далее, из уравнения \(AE + BE + BE + CF + CF + AE = 30\) получаем:
\(\frac{3}{5}P_{ABC} + \frac{2}{5}P_{ABC} + \frac{2}{5}P_{ABC} + 5 + 5 + \frac{3}{5}P_{ABC} = 30\)
\(3 \cdot \frac{2}{5}P_{ABC} + 2 \cdot 5 = 30\)
\(\frac{6}{5}P_{ABC} + 10 = 30\)
\(\frac{6}{5}P_{ABC} = 20\)
\(P_{ABC} = 20 \cdot \frac{5}{6} = 16.67\) см

Теперь можно найти длины сторон:
\(AE = \frac{3}{5}P_{ABC} = \frac{3}{5} \cdot 16.67 = 10\) см
\(BE = \frac{2}{5}P_{ABC} = \frac{2}{5} \cdot 16.67 = 6.67\) см
\(CF = 5\) см

Шаг 4: Найдем остальные стороны треугольника ABC.
Из равенства \(AE + BE + CF = 15\) находим:
\(10 + 6.67 + 5 = 21.67\)
Откуда \(21.67 = 15\) — противоречие. Значит, это равенство неверно.

Рассмотрим другое равенство:
\(\frac{3}{2}BE + BE + 5 = 15\)
\(\frac{3}{2} \cdot 6.67 + 6.67 + 5 = 15\)
\(10 + 6.67 + 5 = 21.67\)
Снова получаем противоречие.

Поэтому будем искать решение другим способом.
Из равенства \(2.5BE = 10\) находим \(BE = 4\) см.
Тогда \(AE = \frac{3}{2}BE = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6\) см.
\(AB = AE + BE = 6 + 4 = 10\) см.
\(BC = BF + CF = 4 + 5 = 9\) см.
\(AC = AK + CK = 6 + 5 = 11\) см.

Ответ: \(AB = 10\) см, \(BC = 9\) см, \(AC = 11\) см.