ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 333 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какая точка является центром окружности, описанной около прямоугольника?

Решение:

1) Рассмотрим окружность: центр окружности — O, \(AE = BE\), \(OF \perp AB\); \(BF = CF\), \(OF \perp BC\);
2) В треугольнике AOB: \(OE\) — медиана и высота, \(AO = BO\);
3) В треугольнике BOC: \(OF\) — медиана и высота, \(CO = BO = AO\);
4) В прямоугольнике ABCD: \(AO = CO\), \(O \in BD\).

Ответ: точка пересечения диагоналей.

Дано: четырехугольник ABCD является прямоугольником, O — центр описанной окружности.

Доказать: AC ⊥ BD.

Решение:

1) Рассмотрим окружность, описанную вокруг прямоугольника ABCD. Центр этой окружности обозначим как точку O.

2) Из свойств прямоугольника известно, что диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом. Поэтому нам нужно доказать, что прямые AC и BD пересекаются под прямым углом.

3) Проведем отрезки AE и BF, перпендикулярные сторонам AB и BC соответственно. Тогда, согласно свойствам окружности, \(AE = BE\) и \(BF = CF\).

4) Рассмотрим треугольник AOB. Так как \(OE\) является медианой и высотой этого треугольника, то \(AO = BO\).

5) Аналогично, в треугольнике BOC, \(OF\) является медианой и высотой, следовательно, \(CO = BO = AO\).

6) Таким образом, в прямоугольнике ABCD точка O лежит на пересечении диагоналей, и \(AO = CO\), \(O \in BD\).

Следовательно, AC ⊥ BD, что и требовалось доказать.