ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 340 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. Какая точка является центром окружности, вписанной в ромб

Краткий ответ:

Решение:

1) Рассмотрим ромб ABCD: AB = BC = CD = AD = \(a\); AB + CD = BC + AD = \(2a\);

2) Рассмотрим ромб ABCD: AC — биссектриса \(\angle A\) и \(\angle C\); BD — биссектриса \(\angle B\) и \(\angle D\); O — центр окружности; AC \(\cap\) BD = O;

Ответ: точка пересечения диагоналей.

Подробный ответ:

Решение:

Для доказательства того, что в любой ромб можно вписать окружность и найти центр этой окружности, рассмотрим ромб ABCD со следующими свойствами:

1) Длины сторон ромба ABCD равны: AB = BC = CD = AD = \(a\).
2) Сумма длин противоположных сторон ромба равна: AB + CD = BC + AD = \(2a\).

Теперь рассмотрим диагонали ромба ABCD:

1) Диагональ AC является биссектрисой угла \(\angle A\) и угла \(\angle C\).
2) Диагональ BD является биссектрисой угла \(\angle B\) и угла \(\angle D\).

Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом в точке O, то точка O является центром окружности, вписанной в ромб ABCD.

Таким образом, мы доказали, что в любой ромб можно вписать окружность, и центр этой окружности находится в точке пересечения диагоналей ромба.

Оцени решение