ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 342 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Под каким углом видна боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности?

Решение:

1) Рассмотрим окружность: O — центр окружности; AO, BO — биссектрисы;
2) В трапеции ABCD: \(\angle A + 2\angle B = 180°\);
3) В треугольнике AOB: \(\angle BAO = \frac{1}{2}\angle A\), \(\angle ABO = \frac{1}{2}\angle B\); \(\angle BAO + \angle AOB + \angle ABO = 180°\); \(\frac{1}{2}\angle A + \angle AOB + \frac{1}{2}\angle B = 180°\); \(\angle A + 2\angle AOB = 360°\); \(180° + 2\angle AOB = 360°\); \(2\angle AOB = 180°\), \(\angle AOB = 90°\).
Ответ: 90°.

Решение:

Дано: трапеция ABCD, центр вписанной окружности O.

Требуется найти величину угла AOB.

1) Рассмотрим вписанную окружность трапеции ABCD. Центр этой окружности обозначен как O.

2) Так как точка O является центром вписанной окружности, то отрезки AO и BO являются биссектрисами углов трапеции ABCD.

3) В трапеции ABCD сумма углов при основаниях равна 180°: \(\angle A + 2\angle B = 180°\).

4) В треугольнике AOB углы при вершине O являются половинами соответствующих углов трапеции: \(\angle BAO = \frac{1}{2}\angle A\) и \(\angle ABO = \frac{1}{2}\angle B\).

5) Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°: \(\angle BAO + \angle AOB + \angle ABO = 180°\).

6) Подставляя выражения для углов треугольника AOB, получаем: \(\frac{1}{2}\angle A + \angle AOB + \frac{1}{2}\angle B = 180°\).

7) Упрощая, получаем: \(\angle A + 2\angle AOB = 360°\).

8) Из этого равенства следует, что \(2\angle AOB = 180°\), а значит \(\angle AOB = 90°\).

Ответ: \(\angle AOB = 90°\).