ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 344 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник является квадратом

Пусть ABCD — прямоугольник: AB = CD, BC = AD;

Можно вписать окружность: AB + CD = BC + AD; AB + AB = BC + BC; 2AB = 2BC, AB = BC; AB = BC = CD = AD;

Что и требовалось доказать.

Пусть дан прямоугольник ABCD, где AB = CD и BC = AD. Требуется доказать, что можно вписать окружность в этот прямоугольник.

Доказательство:
1. Так как ABCD — прямоугольник, то AB = CD и BC = AD.
2. Рассмотрим сумму длин противоположных сторон прямоугольника: AB + CD = BC + AD.
3. Так как AB = CD и BC = AD, то AB + CD = BC + AD.
4. Следовательно, AB + CD = BC + AD, что означает, что можно вписать окружность в прямоугольник ABCD.
5. Также можно заметить, что AB + AB = BC + BC, поэтому 2AB = 2BC, откуда AB = BC.
6. Таким образом, AB = BC = CD = AD, что и требовалось доказать.