ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 345 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратом.

Краткий ответ:

Пусть ABCD — данный ромб:
\(\angle A = \angle C, \angle B = \angle D\);
Можно описать окружность:
\(\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180°\);
\(\angle A + \angle A = \angle B + \angle B\);
\(2\angle A = 2\angle B, \angle A = \angle B\);
\(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90°\);
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Пусть ABCD — данный ромб. Согласно условию, \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\).

Для доказательства того, что можно описать окружность вокруг ромба, рассмотрим сумму углов в треугольнике: \(\angle A + \angle C + \angle B = 180°\). Поскольку \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\), то \(\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180°\). Таким образом, можно описать окружность вокруг ромба ABCD.

Далее, рассмотрим равенство \(\angle A + \angle A = \angle B + \angle B\). Поскольку \(\angle A = \angle B\), то \(2\angle A = 2\angle B\), откуда \(\angle A = \angle B\).

Наконец, поскольку сумма углов в четырехугольнике равна \(360°\), и все углы равны, то \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90°\).

Таким образом, мы доказали, что в данном ромбе все углы равны \(90°\).

Оцени решение