ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 346 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона \(AD\) четырехугольника \(ABCD\) является диаметром описанной около него окружности, \(\angle ABC = 108^\circ\), \(\angle BCD = 132^\circ\). Найдите углы \(BAD\), \(ADC\), \(CAD\), \(BDA\).

Дано:
O — ц. опис. окр;
AD — диаметр;
\(\text{LABC} = 108^\circ\);
\(\text{LBCD} =132^\circ\);

Найти:
\(\text{LBAD}\); \(\text{LADC}\); \(\text{LCAD}\); \(\text{LBDA}\);

Решение:
Рассмотрим окружность:
\(\text{LBAD} + 2\cdot\text{LBCD} = 180^\circ\)
\(\text{LBAD} + 132^\circ = 180^\circ\)
\(\text{LBAD} = 48^\circ\)

\(\text{LADC} + \text{LABC} = 180^\circ\)
\(\text{LADC} + 108^\circ = 180^\circ\)
\(\text{LADC} = 72^\circ\)

\(\text{U ABC} = 2\cdot\text{LADC} = 144^\circ\)
\(\text{U CD} = 180^\circ — \text{U ABC} = 36^\circ\)
\(\text{LCAD} = \frac{1}{2}\cdot\text{U CD} = 18^\circ\)

\(\text{U DCB} = 2\cdot\text{LBAD} = 96^\circ\)
\(\text{U AB} = 180^\circ — \text{U DCB} = 84^\circ\)
\(\text{LBDA} = \frac{1}{2}\cdot\text{U AB} = 42^\circ\)

Ответ: 48°, 72°, 18°, 42°.

Дано:
— Центр окружности O
— Диаметр AD
— Угол ABC = 108°
— Угол BCD = 132°

Для нахождения углов BAD, ADC, CAD и BDA будем использовать следующие свойства окружности:
1. Сумма углов, вписанных в одну дугу, равна 180°: \(\text{LBAD} + 2\cdot\text{LBCD} = 180^\circ\)
2. Угол, вписанный в полуокружность, равен 90°: \(\text{LADC} + \text{LABC} = 180^\circ\)
3. Центральный угол равен удвоенному вписанному углу: \(\text{UCAD} = 2\cdot\text{LCAD}\)
4. Угол, вписанный в полуокружность, равен 90°: \(\text{UBAD} = 180^\circ — \text{LBAD}\)

Применяя эти свойства, находим:
\(\text{LBAD} = 180^\circ — 2\cdot132^\circ = 48^\circ\)
\(\text{LADC} = 180^\circ — 108^\circ = 72^\circ\)
\(\text{LCAD} = \frac{1}{2}\cdot\text{UCAD} = \frac{1}{2}\cdot36^\circ = 18^\circ\)
\(\text{LBDA} = \frac{1}{2}\cdot\text{UAB} = \frac{1}{2}\cdot84^\circ = 42^\circ\)

Ответ: 48°, 72°, 18°, 42°.