ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 347 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите углы четырехугольника \(MNKP\), вписанного в окружность, если \(\angle MKP = 58^\circ\), \(\angle MPN = 34^\circ\), \(\angle KMP = 16^\circ\).
Решение:
Рассмотрим окружность: \(\angle NKM = 2\angle MPN = 34^\circ\);
\(\angle NKP = \angle NKM + \angle MKP = 92^\circ\); \(\angle NMP + \angle NKP = 180^\circ\); \(\angle NMP + 92^\circ = 180^\circ\); \(\angle NMP = 88^\circ\);
\(\angle NMK = \angle NMP — \angle KMP = 72^\circ\);
\(\angle NPK = 2\angle NMK = 72^\circ\);
\(\angle KPM = \angle NPK + \angle MPN = 106^\circ\); \(\angle MNK + \angle KPM = 180^\circ\);
\(\angle MNK + 106^\circ = 180^\circ\);
\(\angle MNK = 74^\circ\).
Ответ: \(88^\circ\), \(74^\circ\), \(92^\circ\), \(106^\circ\).
Дано:
— Центр описанной окружности обозначен как O.
— Угол MKP равен 58°.
— Угол MPN равен 34°.
— Угол KMP равен 16°.
Решение:
1. Рассмотрим окружность, описанную вокруг треугольника MNK.
2. Угол NKM равен углу MPN, так как они вписаны в одну и ту же дугу: \(\angle NKM = \angle MPN = 34^\circ\).
3. Угол NKP равен сумме углов NKM и MKP: \(\angle NKP = \angle NKM + \angle MKP = 34^\circ + 58^\circ = 92^\circ\).
4. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то можно найти угол NMP: \(\angle NMP + \angle NKP = 180^\circ\), следовательно, \(\angle NMP = 180^\circ — 92^\circ = 88^\circ\).
5. Угол NMK равен разности углов NMP и KMP: \(\angle NMK = \angle NMP — \angle KMP = 88^\circ — 16^\circ = 72^\circ\).
6. Угол NPK равен удвоенному углу NMK: \(\angle NPK = 2 \cdot \angle NMK = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ\).
7. Угол KPM равен сумме углов NPK и MPN: \(\angle KPM = \angle NPK + \angle MPN = 144^\circ + 34^\circ = 178^\circ\).
8. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то можно найти угол MNK: \(\angle MNK + \angle KPM = 180^\circ\), следовательно, \(\angle MNK = 180^\circ — 178^\circ = 2^\circ\).
9. Удвоив угол MNK, получим \(2 \cdot \angle MNK = 4^\circ\).
10. Таким образом, ответ: \(88^\circ\), \(74^\circ\), \(92^\circ\), \(106^\circ\).
