ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 348 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из оснований. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий ее боковой стороне, равен \(56^\circ\). Найдите углы трапеции.

Решение:
1) В трапеции ABCD: AB = CD, AE = DE; ∠A = ∠D, ∠B = ∠C;
2) △AED равнобедренный: ∠EAD = ∠EDA; ∠AED = 180° — ∠AEB = 124°; ∠AED + ∠EAD + ∠EDA = 180°; 124° + ∠EAD + ∠EAD = 180°; 2∠EAD = 56°, ∠EAD = 28°;
3) Рассмотрим окружность: ∠UCD = 2∠DAC = 56°; ∠UAB = 2∠ADB = 2∠DAC =∠UCD; ∠UBC = 180° -∠UAB -∠UCD = 68°; ∠BAC =∠UBC = 34°;
4) В трапеции ABCD: ∠BAD = 2∠BAC + ∠DAC — 62°; ∠ABC = 180° — 2∠BAD = 118°.
Ответ: 62°; 118°.

Дано:
— Трапеция ABCD
— Центр описанной окружности O
— AB = CD
— ∠AEB = 56°
— O ∈ AD

Решение:

1) Найдем углы трапеции ABCD, используя свойства равнобедренной трапеции:
— Так как AB = CD, то ∠A = ∠D и ∠B = ∠C
— Из условия ∠AEB = 56°, находим ∠AED = 180° — ∠AEB = 124°

2) Рассмотрим равнобедренный треугольник AED:
— Так как ∠AED = 124°, то ∠EAD = ∠EDA = (180° — 124°) / 2 = 28°
— Следовательно, ∠AED + ∠EAD + ∠EDA = 180°

3) Найдем угол ∠BAC, используя свойства описанной окружности:
— Угол в полуокружности равен 90°, значит ∠UCD = 2∠DAC = 56°
— Угол, вписанный в окружность и опирающийся на хорду, равен половине центрального угла, значит ∠UAB = 2∠ADB = 2∠DAC = ∠UCD
— Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, равен 90°, значит ∠UBC = 180° — ∠UAB — ∠UCD = 68°
— Следовательно, ∠BAC =∠UBC = 34°

4) Найдем угол ∠BAD и ∠ABC в трапеции ABCD:
— Из свойств равнобедренной трапеции, ∠BAD = 2∠BAC + ∠DAC — 62° = 62°
— Из свойств трапеции, ∠ABC = 180° — ∠BAD = 118°

Ответ: ∠BAD = 62°, ∠ABC = 118°.